非歐幾里得幾何是指不同于歐幾里得幾何學(xué)的幾何體系，簡稱為非歐幾何，一般是指尼古拉·羅巴切夫斯基幾何(雙曲幾何)和伯恩哈德·黎曼的黎曼幾何。它們與歐氏幾何最主要的區(qū)別在于公理體系中采用了不同的平行定理。
誕生
從古希臘時(shí)代到公元1800年間，許多數(shù)學(xué)家都嘗試用歐幾里得幾何中的其他公理來證明歐幾里得的平行公理，但是結(jié)果都?xì)w于失敗。19世紀(jì)，德國約翰·卡爾·弗里德里希·高斯、俄羅斯數(shù)學(xué)家羅巴切夫斯基、匈牙利數(shù)學(xué)家波爾約等人各自獨(dú)立地認(rèn)識(shí)到這種證明是不可能的。也就是說，平行公理是獨(dú)立于其他公理的，并且可以用不同的“平行公理”來替代它。高斯關(guān)于非歐幾何的信件和筆記在他生前一直沒有公開發(fā)表，只是在他1885年去世后出版時(shí)才引起人們的注意。尼古拉·羅巴切夫斯基和鮑耶·亞諾什分別在1830年前后發(fā)表了他們關(guān)于非歐幾何的理論。在這種幾何里，羅巴切夫斯基平行公理替代了歐幾里得平行公理，即在一個(gè)平面上，過已知直線外一點(diǎn)至少有兩條直線與該直線不相交。由此可演繹出一系列全無矛盾的結(jié)論，并且可以得出三角形的內(nèi)角和小于兩直角。羅氏幾何中有許多不同于歐氏幾何的定理。
繼羅氏幾何后，德國數(shù)學(xué)家伯恩哈德·黎曼在1854年又提出了既不是歐氏幾何也不是羅氏幾何的新的非歐幾何。這種幾何采用如下公理替代歐幾里得平行公理：同一平面上的任何兩直線一定相交。同時(shí)，還對(duì)歐氏幾何的其他公理做了部分改動(dòng)。在這種幾何里，三角形的內(nèi)角和大于兩直角。人們把這種幾何稱為黎曼幾何。
直到1866年，意大利數(shù)學(xué)家歐金尼奧·貝爾特拉米在他出版的《非歐幾何解釋的嘗試》中，證明了非歐平面幾何可以局部地在歐氏空間中實(shí)現(xiàn)。1871年，德國數(shù)學(xué)家菲利克斯·克萊因認(rèn)識(shí)到從射影幾何中可以推導(dǎo)度量幾何，并建立了非歐幾何模型。這樣，非歐幾何的相容性問題就歸結(jié)為歐氏幾何的相容性問題，由此非歐幾何得到了普遍的承認(rèn)。
內(nèi)容
羅氏幾何
尼古拉·羅巴切夫斯基幾何的公理系統(tǒng)和歐幾里得幾何不同的地方僅僅是把歐式幾何平行公理用“在平面內(nèi)，從直線外一點(diǎn)，至少可以做兩條直線和這條直線平行”來代替，其他公理基本相同。由于平行公理不同，經(jīng)過演繹推理卻引出了一連串和歐式幾何內(nèi)容不同的新的幾何命題。
我們知道，羅氏幾何除了一個(gè)平行公理之外采用了歐式幾何的一切公理。因此，凡是不涉及到平行公理的幾何命題，在歐式幾何中如果是正確的，在羅氏幾何中也同樣是正確的。在歐式幾何中，凡涉及到平行公理的命題，在羅氏幾何中都不成立，他們都相應(yīng)地含有新的意義。所以羅氏幾何中的一些幾何事實(shí)沒有像歐式幾何那樣容易被接受。但是，數(shù)學(xué)家們經(jīng)過研究，提出可以用我們習(xí)慣的歐式幾何中的事實(shí)作一個(gè)直觀“模型”來解釋羅氏幾何是正確的。
1868年，意大利數(shù)學(xué)家貝特拉米發(fā)表了一篇著名論文《非歐幾何解釋的嘗試》，證明非歐幾何可以在歐幾里得空間的曲面（例如擬球曲面）上實(shí)現(xiàn)。這就是說，非歐幾何命題可以“翻譯”成相應(yīng)的歐幾里得幾何命題，如果歐幾里得幾何沒有矛盾，非歐幾何也就自然沒有矛盾。
直到這時(shí)，長期無人問津的非歐幾何才開始獲得學(xué)術(shù)界的普遍注意和深入研究，尼古拉·羅巴切夫斯基的獨(dú)創(chuàng)性研究也就由此得到學(xué)術(shù)界的高度評(píng)價(jià)和一致贊美，他本人則被人們贊譽(yù)為“幾何學(xué)中的哥白尼”。
黎曼幾何
歐氏幾何與羅氏幾何中關(guān)于結(jié)合公理、順序公理、連續(xù)公理及合同公理都是相同的，只是平行公理不一樣。歐式幾何講“過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行”。羅氏幾何講“過直線外一點(diǎn)至少存在兩條直線和已知直線平行”。那么是否存在這樣的幾何“過直線外一點(diǎn)，不能做直線和已知直線平行”？黎曼幾何就回答了這個(gè)問題。
黎曼幾何是德國數(shù)學(xué)家黎曼創(chuàng)立的。他在1851年所作的一篇論文《論幾何學(xué)作為基礎(chǔ)的假設(shè)》中明確的提出另一種幾何學(xué)的存在，開創(chuàng)了幾何學(xué)的一片新的廣闊領(lǐng)域。
黎曼幾何中的一條基本規(guī)定是：在同一平面內(nèi)任何兩條直線都有公共點(diǎn)（交點(diǎn)）。在黎曼幾何學(xué)中不承認(rèn)平行線的存在，它的另一條公設(shè)講：直線可以無限延長，但總的長度是有限的。黎曼幾何的模型是一個(gè)經(jīng)過適當(dāng)“改進(jìn)”的球面。
近代黎曼幾何在廣義相對(duì)論里得到了重要的應(yīng)用。在物理學(xué)家阿爾伯特·愛因斯坦的廣義相對(duì)論中的空間幾何就是黎曼幾何。在廣義相對(duì)論里，愛因斯坦放棄了關(guān)于時(shí)空均勻性的觀念，他認(rèn)為時(shí)空只是在充分小的空間里以一種近似性而均勻的，但是整個(gè)時(shí)空卻是不均勻的。在物理學(xué)中的這種解釋，恰恰與黎曼幾何的觀念是相似的。
此外，黎曼幾何在數(shù)學(xué)中也是一個(gè)重要的工具。它不僅是微分幾何的基礎(chǔ)，也應(yīng)用在微分方程、變分法和復(fù)變函數(shù)論等方面。
影響
非歐幾何的產(chǎn)生與發(fā)展，在客觀上對(duì)研究了2000多年的第五公設(shè)作了總結(jié)，它引起了人們對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的深入探討，影響著現(xiàn)代自然科學(xué)、現(xiàn)代數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)哲學(xué)的發(fā)展：
其一，隨著非歐幾何的產(chǎn)生，引起了數(shù)學(xué)家們對(duì)幾何基礎(chǔ)的研究，從而從根本上改變了人們的幾何觀念，擴(kuò)大了幾何學(xué)的研究對(duì)象，使幾何學(xué)的研究對(duì)象由圖形的性質(zhì)進(jìn)入到抽象空間，即更一般的空間形式，使幾何的發(fā)展進(jìn)入了一個(gè)以抽象為特征的嶄新階段。可以說，非歐幾何的產(chǎn)生是數(shù)學(xué)以直觀為基礎(chǔ)的時(shí)代進(jìn)入以理性為基礎(chǔ)的時(shí)代的重要標(biāo)志。
其二，非歐幾何的產(chǎn)生，引起了一些重要數(shù)學(xué)分支的產(chǎn)生。數(shù)學(xué)家們圍繞著幾何的基礎(chǔ)問題、幾何的真實(shí)性問題或者說幾何的應(yīng)用可靠性問題等的討論，在完善數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的過程中，相繼出現(xiàn)了一些新的數(shù)學(xué)分支，如數(shù)的概念、分析基礎(chǔ)、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、數(shù)理邏輯等，公理化方法也獲得了進(jìn)一步的完善。
其三，非歐幾何學(xué)的創(chuàng)立為阿爾伯特·愛因斯坦發(fā)展廣義相對(duì)論提供了思想基礎(chǔ)和有力工具，而相對(duì)論給物理學(xué)帶來了一場深刻的革命，動(dòng)搖了牛頓力學(xué)在物理學(xué)中的統(tǒng)治地位，使人們對(duì)客觀世界的認(rèn)識(shí)產(chǎn)生了質(zhì)的飛躍。
其四，非歐幾何學(xué)使數(shù)學(xué)哲學(xué)的研究進(jìn)入了一個(gè)嶄新的歷史時(shí)期。18世紀(jì)和19世紀(jì)前半期最具影響的康德哲學(xué)，它的自然科學(xué)基礎(chǔ)支柱之一是歐幾里得空間。伊曼努爾·康德曾經(jīng)說過：“歐幾里得幾何是人類心靈內(nèi)在固有的，因而對(duì)于‘現(xiàn)實(shí)’空間客觀上是合理的。”非歐幾何的創(chuàng)立，沖破了傳統(tǒng)觀念并破除了千百年來的思想習(xí)慣，給康德的唯心主義哲學(xué)以有力一擊，使數(shù)學(xué)從傳統(tǒng)的形而上學(xué)的束縛下解放出來。用格奧爾格·康托爾的話說“數(shù)學(xué)的本質(zhì)在于其自由”。
啟示
非歐幾何在數(shù)學(xué)創(chuàng)造方面提供了許多有益的啟示。
(1)非歐幾何的創(chuàng)立又一次驗(yàn)證了以下結(jié)論：“重大問題的多重的獨(dú)立的發(fā)現(xiàn)或解決是一條規(guī)律，而不是例外”(梁宗巨語)。
(2)非歐幾何的創(chuàng)立也從一個(gè)側(cè)面證明了這樣一點(diǎn)：“一個(gè)新的數(shù)學(xué)概念的創(chuàng)造者的名望和地位在該概念的可接受性方面起著強(qiáng)制的作用，尤其是在新概念突破了傳統(tǒng)時(shí)是這樣。”
(3)一個(gè)重大問題的解決，往往需要許多代人的共同努力，才能取得成功，而后人總是“站在前人的肩膀上”的。
參考資料 >
走進(jìn)科學(xué)院，感受數(shù)學(xué)之美！.中國科普博覽網(wǎng).2021-07-08