波動方程或稱波方程（英語：wave equations）由麥克斯韋方程組導出的、描述電磁場波動特征的一組微分方程，是一種重要的偏微分方程，主要描述自然界中的各種的波動現(xiàn)象，包括橫波和縱波，例如聲波、光波和水波。波動方程抽象自聲學，電磁學，和流體力學等領(lǐng)域。
波動方程介紹
歷史上許多科學家，如讓·達朗貝爾、萊昂哈德·歐拉、丹尼爾·伯努利和約瑟夫·拉格朗日等在研究樂器等物體中的弦振動問題時，都對波動方程理論作出過重要貢獻。
弦振動方程是在18世紀由達朗貝爾（d'Alembert）等人首先系統(tǒng)研究的，它是一大類偏微分方程的典型代表。
方程形式
對于一個標量（quantity）的波動方程的一般形式是：
這里通常是一個固定常數(shù)，也就是波的傳播速率(對于空氣中的聲波大約是330米/秒, 參看音速)。對于弦的振動，這可以有很大的變化范圍：在螺旋彈簧上（slinky），它可以慢到1米/秒。但若作為波長的函數(shù)改變，它應該用相速度代替：
注意波可能疊加到另外的運動上（例如聲波的傳播在氣流之類的移動媒介中）。那種情況下，標量u會包含一個馬赫因子(對于沿著流運動的波為正，對于反射波為負)。
, 是振幅，在特定位置和特定時間的波強度的一個測量。對于空氣中的聲波就是局部氣壓，對于振動弦就使從靜止位置的位移。是相對于位置變量的拉普拉斯算子。注意可能是一個標量或向量。
如，一維波動方程：
二維波動方程：
三維波動方程：
方程的解
對于一維標量波動方程的一般解是由讓·達朗貝爾給出的：其中 和 為任意兩個可導數(shù)的單變量函數(shù)，分別對應于右傳播波，和左傳播波。
要決定 和 必須考慮兩個初始條件：
這樣達朗貝爾公式變成了：
在經(jīng)典的意義下，如果并且則
一維情況的波動方程可以用如下方法推導：想象一個質(zhì)量為的小質(zhì)點的隊列，互相用長度的彈簧連接。彈簧的硬度為:
這里測量位于的質(zhì)點偏離平衡位置的距離。對于位于的質(zhì)點的運動方程是：
其中的時間依賴性變成顯式的了。
要點分析
如果在所考慮的區(qū)域內(nèi)自由電荷的體密度為零，且媒質(zhì)是均勻、線性、各向同性的，則由這些條件下的麥克斯韋方程組及本構(gòu)關(guān)系可以導得
上述式子稱為廣義波動方程或基爾霍夫方程。式中的稱為拉普拉斯算符。在直角坐標系中
在自由空間或絕緣良好的介質(zhì)中，電導率可以忽略不計，即，于是和的微分方程成為
稱為波動方程或達朗貝爾方程。
波動方程的解是在空間中一個沿特定方向傳播的電磁波。對于電磁波傳播問題的分析，都可歸結(jié)為在給定的邊界條件和初始條件下求波動方程的解。
標量波動方程 應用直角坐標系
可以把③寫成
即把矢量波動方程分解成三個標量波動方程，每個方程中只含一個知函數(shù)。但只有在應用直角坐標系時才能得到這樣的結(jié)果，在其它坐標系中，通過分解而得的三個標量方程都具有復雜的形式。
亥姆霍茲方程 在場源按正弦曲線規(guī)律隨時間變化的條件下，場量也是同頻率的正弦函數(shù)，可以用相量表示。由相量形式的麥克斯韋方程組出發(fā)，可以推導出相量形式的波動方程：
式中：
式⑧與⑨又稱亥姆霍茲方程。
物理意義
波動方程就是描述波動現(xiàn)象的偏微分方程，它的物理意義就太寬泛了。不過波動方程一個很重要的性質(zhì)是傳播速度有限（不像熱傳導方程）。電磁場的運動方程是波動方程這說明電磁相互作用只能以有限的速度傳播（光速c），而沒有瞬時的作用（即超距作用）。這是導致狹義相對論建立的一個重要思想。
參考資料 >
后浪變前浪，一定會被拍死在沙灘上嗎？未必…….m.toutiao.com.2022-06-20