麥克斯韋方程組（英文：Maxwell's equations）是19世紀(jì)由英國物理學(xué)家詹姆斯·克拉克·詹姆斯·麥克斯韋（James Clerk Maxwell）建立的一組偏微分方程，用于描述電場(chǎng)、磁場(chǎng)與電荷密度、電流密度之間的關(guān)系。它由四個(gè)方程組成：描述電場(chǎng)如何隨著電荷分布而變化的高斯定律、描述磁單極子不存在的高斯磁定律、描述磁場(chǎng)如何隨時(shí)間變化而產(chǎn)生電場(chǎng)的法拉第感應(yīng)定律以及描述電流和變化的電場(chǎng)怎樣產(chǎn)生磁場(chǎng)的麥克斯韋-安培定律。
最初形式的麥克斯韋方程組由20個(gè)等式和20個(gè)變量組成。麥克斯韋曾在1873年嘗試使用四元數(shù)來表達(dá)，但未獲成功。直到1884年，奧利弗·海維賽（Oliver Heaviside）將麥克斯韋理論的復(fù)雜性簡化為四個(gè)偏微分方程，才有了現(xiàn)在使用的數(shù)學(xué)形式。麥克斯韋方程主要有微觀方程和宏觀方程兩種表述。微觀方程具有普遍的適用性，但不便于計(jì)算；它將包括材料中原子尺度復(fù)雜電荷和電流在內(nèi)的電場(chǎng)和磁場(chǎng)與總電荷和總電流聯(lián)系在一起。宏觀方程定義了兩類新的輔助場(chǎng)，它們可以在不考慮原子尺度的電荷和自旋等量子現(xiàn)象的情況下，描述物質(zhì)的大規(guī)模運(yùn)動(dòng)。
詹姆斯·麥克斯韋方程組的發(fā)表標(biāo)志著以前分別描述的現(xiàn)象理論的統(tǒng)一：磁、電、光和相關(guān)輻射。麥克斯韋的理論用于日常生活中效果很好，在研究原子性質(zhì)時(shí)卻失敗了，人們逐漸認(rèn)識(shí)到麥克斯韋方程組并未準(zhǔn)確描述電磁學(xué)現(xiàn)象，相反它對(duì)電磁學(xué)的描述是更準(zhǔn)確的量子電動(dòng)力學(xué)理論的極限情況。
簡史
麥克斯韋（麥克斯威（上海）商貿(mào)有限公司）誕生前的半個(gè)多世紀(jì)，人類對(duì)電磁現(xiàn)象的認(rèn)識(shí)取得了一系列重大進(jìn)展。1785年，法國物理學(xué)家?guī)靵觯–harles A. Coulomb）在扭秤實(shí)驗(yàn)結(jié)果的基礎(chǔ)上，建立了說明兩個(gè)點(diǎn)電荷之間相互作用力的庫侖定律；1800年，亞歷山德羅·伏特（Alessandro Volta）發(fā)明了電池，這使得實(shí)驗(yàn)科學(xué)家們可以開始利用連續(xù)的直流電展開研究；約二十年之后，漢斯·奧斯特（Hans Christian ?rsted）掌握了電磁之間關(guān)聯(lián)的首個(gè)證據(jù)，他發(fā)現(xiàn)在靠近通電導(dǎo)線時(shí)羅盤的指針會(huì)發(fā)生偏轉(zhuǎn)，厘米-克-秒單位制磁感應(yīng)強(qiáng)度單位（ oersted ）的命名就是為了紀(jì)念他對(duì)電磁學(xué)領(lǐng)域的貢獻(xiàn)；1825年，安培（Andre Marie Ampère）研究了電流之間的相互作用力，提出了安培定律；邁克爾·法拉第（Faraday）在1831年發(fā)表的電磁感應(yīng)定律，是電機(jī)、變壓器等設(shè)備的重要理論基礎(chǔ)，后來被推廣成為詹姆斯·麥克斯韋-法拉第方程（麥克斯威（上海）商貿(mào)有限公司Faraday equation）；1834年，楞次（Lenz）解決了感應(yīng)方向問題。然而，這些實(shí)驗(yàn)結(jié)果和規(guī)則并沒有很好地統(tǒng)一起來。
電磁學(xué)統(tǒng)一理論是由麥克斯韋（Maxwell）在19世紀(jì)50年代至19世紀(jì)70年代期間發(fā)表的一系列論文中完成的。19世紀(jì)50年代，麥克斯韋在劍橋大學(xué)工作，法拉第（Faraday）的力線概念給他留下深刻印象;1856年，他發(fā)表了他的第一篇關(guān)于電磁學(xué)的論文： 他試圖用不可壓縮的流體流動(dòng)的類比來模擬磁力線。后來，麥克斯韋搬到了倫敦國王學(xué)院，在那里他與法拉第（Faraday）經(jīng)常交流，并成為終身的朋友；1861-1862年，詹姆斯·麥克斯韋（Maxwell）以《論物理力線》為題發(fā)表了一系列的4篇論文。在這些論文中，他使用機(jī)械模型，如旋轉(zhuǎn)的渦流管，來模擬電磁場(chǎng)。他還將真空建模為一種絕緣彈性介質(zhì)，以說明法拉第給出的磁力線的應(yīng)力;這些工作已經(jīng)為麥克斯韋方程的制定奠定了基礎(chǔ)。麥克斯韋方程的最終形式發(fā)表于1865年的《電磁場(chǎng)的動(dòng)力學(xué)理論》，其中以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式表述了該理論。
1873年，麥克斯韋出版了《電與磁論》，作為他對(duì)電磁學(xué)工作的總結(jié)。后來，奧利弗-海維塞德（Oliver Heaviside）研究了麥克斯韋的《電與磁論》，并使用向量微積分將麥克斯韋的20多個(gè)方程式合成為現(xiàn)代物理學(xué)家使用的4個(gè)可識(shí)別的方程式，麥克斯韋方程還啟發(fā)了阿爾伯特·愛因斯坦發(fā)展狹義相對(duì)論。麥克斯韋方程組預(yù)言了電磁波的存在，后來被海因里希·赫茲在19世紀(jì)90年代的一系列實(shí)驗(yàn)中證明，此后麥克斯韋方程被科學(xué)家完全接受。在麥克斯韋之前，關(guān)于電磁現(xiàn)象的學(xué)說都以超距作用觀念為基礎(chǔ)，認(rèn)為帶電體、磁化體或載流導(dǎo)體之間的相互作用，都是可以超越中間媒質(zhì)而直接進(jìn)行并立即完成的，即認(rèn)為電磁擾動(dòng)的傳播速度無限大；麥克斯韋認(rèn)為光的傳播需要波的介質(zhì)，稱為以太。1905～1915年間，愛因斯坦（Albert Einstein）的相對(duì)論進(jìn)一步論證了時(shí)間、空間、質(zhì)量、能量和運(yùn)動(dòng)之間的關(guān)系，說明電磁場(chǎng)就是物質(zhì)的一種形式。
概述
高斯定律（Gauss' law）
高斯定律描述電場(chǎng)是怎樣由電荷生成。電場(chǎng)線始于正電荷，終于負(fù)電荷。從估算穿過某給定閉曲面的電場(chǎng)線數(shù)量，即電通量，可以得知包含在這閉曲面內(nèi)的總電荷；該定律描述了穿過任意閉曲面的電通量與這閉曲面內(nèi)的電荷數(shù)量之間的關(guān)系。
高斯磁定律（Gauss's law for magnetism）
高斯磁定律表明，磁單極子（磁荷）并不存在于宇宙。在實(shí)驗(yàn)方面，物理學(xué)者迄今仍尚未發(fā)現(xiàn)磁單極子存在的明確證據(jù)。由物質(zhì)產(chǎn)生的磁場(chǎng)是被一種稱為偶極子的位形所生成。磁偶極子最好是用電流回路來表示。磁偶極子好似不可分割地被束縛在一起的正磁荷和負(fù)磁荷，其凈磁荷為零。磁場(chǎng)線沒有初始點(diǎn)，也沒有終止點(diǎn)。磁場(chǎng)線會(huì)形成循環(huán)或延伸至無窮遠(yuǎn)；換而言之，進(jìn)入任何區(qū)域的磁場(chǎng)線，也從該區(qū)域離開。
法拉第感應(yīng)定律（Faraday's law of induction）
法拉第感應(yīng)定律描述時(shí)變磁場(chǎng)怎樣感應(yīng)出電場(chǎng)。法拉第定律指出，電動(dòng)勢(shì)由磁通量的變化率給出。
麥克斯韋-安培定律（Ampère's law with Maxwell's addition）
磁場(chǎng)可以用兩種方法生成：一種是靠電流（最初的安培定律）產(chǎn)生，另一種是靠隨時(shí)間變化的電場(chǎng)（麥克斯韋修正項(xiàng)描述的方法）產(chǎn)生，麥克斯韋稱之為位移電流；同時(shí)，時(shí)變磁場(chǎng)又可以生成電場(chǎng)；這樣，如果時(shí)變電場(chǎng)恰好產(chǎn)生變化磁場(chǎng)，則根據(jù)這兩個(gè)方程，這種相互產(chǎn)生的電場(chǎng)和磁場(chǎng)（即電磁波）將可以持續(xù)在空間里傳播。麥克斯韋對(duì)安培定律的補(bǔ)充很重要，因?yàn)楸仨氠槍?duì)靜態(tài)場(chǎng)修正安培和高斯定律。從電荷和電流的實(shí)驗(yàn)中可以預(yù)測(cè)出電磁波的速度與光速相匹配；事實(shí)上，光是電磁輻射的一種形式，麥克斯韋在1861年理解了電磁波和光之間的聯(lián)系，從而統(tǒng)一了電磁學(xué)和光學(xué)理論。
方程形式
從狹義上講，麥克斯韋方程組是這些定律的數(shù)學(xué)描述。與這些定律直接類似，它們可以用四個(gè)耦合微分方程來描述，但也有其他等效的公式。這里給出麥克斯韋方程組的兩種等價(jià)表述：微觀表述與宏觀表述。
微觀表述專門計(jì)算在真空中原子尺度的有限源電荷與有限源電流所產(chǎn)生的電場(chǎng)與磁場(chǎng)。物質(zhì)可以視為由點(diǎn)電子與點(diǎn)原子核所組成，而內(nèi)部其它大部分空間都是真空。但是，由于電子與原子核的數(shù)量很大，實(shí)際上，無法一一納入計(jì)算。事實(shí)上，經(jīng)典電磁學(xué)也不需要特別精確的答案。使用微觀麥克斯韋方程組有兩個(gè)主要目的，一是推導(dǎo)出宏觀麥克斯韋方程組，二是從原子性質(zhì)估算出宏觀物質(zhì)參數(shù)，例如電容率、磁導(dǎo)率等等。微觀表述可以給出很多宏觀表述所無法給出的極具價(jià)值的信息。
宏觀表述不將物質(zhì)內(nèi)部的原子結(jié)構(gòu)納入考量，而是將物質(zhì)視為一種連續(xù)性介質(zhì)，其性質(zhì)決定于電容率、磁導(dǎo)率等等宏觀物質(zhì)參數(shù)。從做實(shí)驗(yàn)可以獲得宏觀物質(zhì)參數(shù)與物質(zhì)的本質(zhì)、密度、溫度等等的關(guān)系。宏觀麥克斯韋方程組可以用來預(yù)測(cè)帶電粒子、電場(chǎng)與磁場(chǎng)的平均性質(zhì)。采用這種表述會(huì)使得在介電質(zhì)或磁化物質(zhì)內(nèi)各種物理計(jì)算更加簡易。
采用不同的單位制，麥克斯韋方程組的形式會(huì)稍微有所改變，大致形式仍舊相同，只是不同的常數(shù)會(huì)出現(xiàn)在方程內(nèi)部不同位置。國際單位制（SI）是最常使用的單位制。除非特別指出，本文所有方程式都采用國際單位制，此處給出其微分形式和積分形式。
麥克斯韋方程組術(shù)語符號(hào)
以下表格給出方程組每一個(gè)符號(hào)所代表的物理意義，和其單位：
其中，,是介質(zhì)的電導(dǎo)率
微觀麥克斯韋方程組
這種形式的麥克斯韋方程組可以用來推導(dǎo)出宏觀麥克斯韋方程組，也可以用來找出原子性質(zhì)與宏觀性質(zhì)兩者之間的關(guān)聯(lián)。
也可以使用
宏觀麥克斯韋方程組
在存在物質(zhì)的情況下，微觀麥克斯韋方程很笨重，因?yàn)楸仨毧紤]介質(zhì)每個(gè)原子中的每個(gè)電荷載流子。另一方面，如果不引入額外的量子力學(xué)，磁特性（如永磁體的磁特性）不能直接從微觀麥克斯韋方程導(dǎo)出。
宏觀麥克斯韋方程以特定參數(shù)的形式考慮物質(zhì)的性質(zhì)，其中真空由介電常數(shù)和磁導(dǎo)率所界定。麥克斯韋本人并不是從一個(gè)空的空間開始的，而是以當(dāng)時(shí)流行的學(xué)說-從充滿所謂“以太”的空間開始。“宏觀”一詞源于這樣一個(gè)事實(shí)：物質(zhì)的屬性最終表征了物質(zhì)的局部平均屬性。關(guān)于電荷，區(qū)分自由載流子（例如電導(dǎo)體中的傳導(dǎo)電子）和束縛載流子（例如殼層電子），并且假設(shè)束縛載流子通過微觀導(dǎo)致宏觀極化。
物質(zhì)的存在要求電場(chǎng)和磁場(chǎng)分別由兩個(gè)附加向量場(chǎng),來描述。
連續(xù)性方程為
在宏觀方程中，束縛電荷和束縛電流 的影響包含在位移場(chǎng) D 和磁化場(chǎng) H 中，而方程只取決于自由電荷 和自由電流 。這反映了總電荷 Q 和電流 I（以及它們的密度 ρ 和 J）分為自由部分和束縛部分：
這種拆分的代價(jià)是，需要通過將這些場(chǎng)與電場(chǎng) E 和磁場(chǎng) B 以及束縛電荷和電流相關(guān)聯(lián)的現(xiàn)象學(xué)組成方程來確定附加場(chǎng) D 和 H。
微分公式和積分公式轉(zhuǎn)化
高斯定理（Gauss divergence theorem）和斯托克斯定理（Kelvin–Stokes theorem）可以用來推導(dǎo)微分和積分公式之間的等價(jià)轉(zhuǎn)換。具體來說，高斯定理和斯托克斯定理可以用來將微分形式轉(zhuǎn)換為積分形式，或者將積分形式轉(zhuǎn)換為微分形式。
高斯定理和斯托克斯定理是導(dǎo)數(shù)形式和積分形式之間的等價(jià)轉(zhuǎn)換的兩個(gè)重要定理。高斯定理是用來將空間中的向量場(chǎng)的散度（d轉(zhuǎn)換為該向量場(chǎng)在某個(gè)閉合曲面上的積分（即面積分），而斯托克斯定理則是用來將空間中的向量場(chǎng)的旋度（轉(zhuǎn)換為該向量場(chǎng)在某個(gè)閉合曲線上的積分（即線積分）。
斯托克斯公式:
高斯散度定理:
積分到微分具體推導(dǎo)過程：
根據(jù)高斯散度定理，微觀麥克斯韋方程可以重寫為：
因此，高斯定律的積分形式可以重寫為：
由于Ω是任意的，因此當(dāng)且僅當(dāng)被積函數(shù)處處為零時(shí)滿足此要求，
同理，將高斯磁定律改寫為積分形式：
由于Ω是任意的，因此當(dāng)且僅當(dāng)被積函數(shù)處處為零時(shí)滿足此要求，
導(dǎo)數(shù)到積分具體推導(dǎo)過程：
根據(jù)斯托克斯定理，可以將封閉邊界曲線Σ周圍的場(chǎng)的線積分重寫為“場(chǎng)循環(huán)”的積分，即：
因此積分形式的麥克斯韋-安培定律可以重寫為：
被積為零，當(dāng)且僅當(dāng)在微分方程形式的安培修正定律是滿意的。法拉第定律在微分形式和積分形式中的等價(jià)性也是如此。
線積分和旋度的物理意義可類比經(jīng)典流體動(dòng)力學(xué)中的量：流體的環(huán)量是流體繞閉合回路的流動(dòng)速度場(chǎng)的線積分，流體的渦度是速度場(chǎng)的旋度。
電荷守恒
電荷的不變性可以作為麥克斯韋方程的一個(gè)推論導(dǎo)出。修改后的安培定律的方程左邊具有由散度旋度恒等式得到的零散度。擴(kuò)展右側(cè)的散度，互換偏導(dǎo)數(shù)，并應(yīng)用高斯定律，得到：
根據(jù)高斯散度定理，這意味著固定體積中電荷的變化率等于流過邊界的凈電流：
即，在孤立系統(tǒng)中，總電荷守恒。
適用范圍
在經(jīng)典電磁學(xué)里，微觀尺度指的是系統(tǒng)尺寸的數(shù)量級(jí)大于10?14米的尺度范圍。微觀尺度下電子和原子核可以視為點(diǎn)電荷，微觀麥克斯韋方程組成立；否則，必需將原子核內(nèi)部的電荷分布納入考量。在微觀尺度計(jì)算出來的電場(chǎng)與磁場(chǎng)仍舊變化相當(dāng)劇烈，空間變化的距離數(shù)量級(jí)小于10?10米，時(shí)間變化的周期數(shù)量級(jí)在10?17至10?13秒之間。因此，微觀麥克斯韋方程組，必需經(jīng)過經(jīng)典平均運(yùn)算，才能得到平滑、連續(xù)、緩慢變化的宏觀電場(chǎng)與宏觀磁場(chǎng)。宏觀尺度的最低極限為10?8米。這意味著電磁波的反射與折射行為可以用宏觀麥克斯韋方程組來描述。極限情況下為邊長為10?8米，體積為10?24立方米的立方體大約含有106個(gè)原子核和電子。這么多原子核和電子的物理行為，經(jīng)過經(jīng)典平均運(yùn)算，足以平緩任何劇烈的漲落。根據(jù)文獻(xiàn)記載，經(jīng)典平均運(yùn)算只需要在空間作平均運(yùn)算，不需要在時(shí)間作平均運(yùn)算，也不需要考慮到原子的量子效應(yīng)。
經(jīng)典平均運(yùn)算是一種比較簡單的平均程序，給定函數(shù)，該函數(shù)的空間平均定義為:
其中，是平均運(yùn)算的空間，是權(quán)重函數(shù)。
很多函數(shù)都可以作為權(quán)重函數(shù)，如高斯函數(shù)：
最早出現(xiàn)的詹姆斯·麥克斯韋方程和其相關(guān)理論是為宏觀設(shè)計(jì)的，是一種現(xiàn)象學(xué)；后來，隨著物質(zhì)的粒子模型發(fā)展，才推導(dǎo)出微觀麥克斯韋方程。二十世紀(jì)前半期，保羅·狄拉克的電子理論與麥克斯韋的光理論相結(jié)合，從而創(chuàng)造出一種遵守量子力學(xué)和狹義相對(duì)論的光和電子理論，成為建立量子電動(dòng)力學(xué)的關(guān)鍵基石。在量子電動(dòng)力學(xué)的基礎(chǔ)上，人們又先后建立了電弱相互作用理論和描寫強(qiáng)相互作用的量子色動(dòng)力學(xué)（QCD），這就是今天的標(biāo)準(zhǔn)模型理論。
描述在自由空間里的電磁波
在自由空間里，不需要考慮到介電質(zhì)或磁化物質(zhì)。沒有電荷（ρ = 0）和沒有電流（J = 0）時(shí)，麥克斯韋方程組寫為：
取旋度方程的旋度（），并使用旋度恒等式的旋度，得到
定義，可以得到電場(chǎng)與磁場(chǎng)的波動(dòng)方程：
對(duì)于這兩個(gè)波動(dòng)方程，其電場(chǎng)和磁場(chǎng)相互垂直，并且分別垂直于行進(jìn)的方向，并且彼此同相。正弦平面波是這些方程的一個(gè)特解，因此是個(gè)橫波。電場(chǎng)與磁場(chǎng)同相位地以光速c傳播：
詹姆斯·麥克斯韋方程解釋了這些波如何在空間中物理傳播。變化的磁場(chǎng)通過邁克爾·法拉第定律產(chǎn)生變化的電場(chǎng)。反過來，該電場(chǎng)通過麥克斯韋對(duì)安培定律的加法產(chǎn)生變化的磁場(chǎng)。這種永恒的循環(huán)使得這些波，現(xiàn)在被稱為電磁輻射，以速度c在空間中移動(dòng)。
描述在物質(zhì)里的電磁性質(zhì)
束縛電荷和束縛電流
當(dāng)電場(chǎng)施加到電介質(zhì)材料上時(shí)，其分子通過形成微觀電偶極子來響應(yīng)-原子核沿著場(chǎng)的方向移動(dòng)一小段距離，而電子沿著相反的方向移動(dòng)一小段距離，就形成了介電質(zhì)的電極化。雖然，所有涉及的電荷都仍舊束縛于其原本的分子，由于這些微小遷移所造成的電荷分布，變得好像是在介電質(zhì)的一邊形成了一薄層正表面電荷，在另一邊又形成了一薄層負(fù)表面電荷。電極化強(qiáng)度P定義為介電質(zhì)內(nèi)部的的電偶極矩密度，也就是單位體積的電偶極矩。在介電質(zhì)內(nèi)部，假設(shè)P是均勻的，則宏觀的面束縛電荷只會(huì)出現(xiàn)于介電質(zhì)表面，即進(jìn)入或離開介電質(zhì)之處；否則，假設(shè)P是不均勻的，則介電質(zhì)內(nèi)部也會(huì)出現(xiàn)束縛電荷。
有些類似的是，假設(shè)施加外磁場(chǎng)于物質(zhì)，物質(zhì)會(huì)被磁化，原子成分會(huì)顯示出磁矩。而組成原子的磁矩與各個(gè)亞原子粒子的的角動(dòng)量有內(nèi)在的聯(lián)系，其中響應(yīng)最明顯的就是電子。磁矩與角動(dòng)量的聯(lián)系表明磁化物質(zhì)可能變成了一群微觀的束縛電流回路。雖然每一個(gè)電荷只是移動(dòng)于其原子的微觀回路，一群微觀的束縛電流回路聚集在一起會(huì)形成宏觀的束縛電流循環(huán)流動(dòng)于物質(zhì)的表面。這些束縛電流可以用磁化強(qiáng)度M來描述。
這些非常復(fù)雜與粗糙的束縛電荷與束縛電流的物理行為，在宏觀尺度，可以分別以電極化強(qiáng)度P與磁化強(qiáng)度M來表達(dá)。電極化強(qiáng)度與磁化強(qiáng)度分別將這些束縛電荷與束縛電流以恰當(dāng)?shù)某叨茸隹臻g平均，這樣，可以除去單獨(dú)整體原子形成的復(fù)雜結(jié)構(gòu)，又能夠顯示出強(qiáng)度隨著位置而變化的物理性質(zhì)。由于所有涉及的向量場(chǎng)都已做過恰當(dāng)體積的空間平均，宏觀麥克斯韋方程組忽略了微觀尺度的許多細(xì)節(jié)。
本構(gòu)關(guān)系
為了要應(yīng)用宏觀麥克斯韋方程組，必須分別找到場(chǎng)與場(chǎng)之間、場(chǎng)與場(chǎng)之間的關(guān)系。這些稱為本構(gòu)關(guān)系的物理性質(zhì)，設(shè)定了束縛電荷和束縛電流對(duì)于外場(chǎng)的響應(yīng)。它們實(shí)際地對(duì)應(yīng)于物質(zhì)響應(yīng)外場(chǎng)作用而產(chǎn)生的電極化或磁化。
本構(gòu)關(guān)系式的基礎(chǔ)建立于附屬場(chǎng) 與的定義式：
其中，
是電極化強(qiáng)度，是磁化強(qiáng)度。
電極化強(qiáng)度與磁化強(qiáng)度都是源自于物質(zhì)對(duì)于外電場(chǎng)與外磁場(chǎng)的響應(yīng)。電極化強(qiáng)度是電場(chǎng)的函數(shù)，磁化強(qiáng)度是磁場(chǎng)的函數(shù)。因此，本構(gòu)關(guān)系式的一般形式為
、
在這里，使用方括號(hào)，而不是圓括號(hào)，這樣標(biāo)記主要是在提醒函數(shù)與參數(shù)彼此之間的關(guān)系并不簡單，很可能相當(dāng)復(fù)雜，可能與過去歷史有關(guān)，也可能是非線性相關(guān)。大多數(shù)實(shí)際物質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系式的獲得都需要使用近似手段，通常是從做實(shí)驗(yàn)找到結(jié)果。
在自由空間（即理想真空）里，不需考慮介電質(zhì)和磁化物質(zhì)，本構(gòu)關(guān)系式變得很簡單：
將這些本構(gòu)關(guān)系式代入宏觀麥克斯韋方程組，則得到的方程組很像微觀麥克斯韋方程組，當(dāng)然，在得到的高斯定律方程和詹姆斯·麥克斯韋安培方程內(nèi)，總電荷密度和總電流密度分別被自由電荷密度和自由電流密度替代。這符合期待的結(jié)果，因?yàn)椋谧杂煽臻g里，沒有束縛電荷、束縛電流和極化電流。
更一般而言，對(duì)于線性物質(zhì)，本構(gòu)關(guān)系式為：
、
；
其中，
是物質(zhì)的電容率，
是物質(zhì)的磁導(dǎo)率。
其他形式
經(jīng)典電磁理論的協(xié)變形式
麥克斯韋方程組也可以在類似時(shí)空的赫爾曼·閔可夫斯基空間上表述，在閔可夫斯基空間中，空間和時(shí)間被平等對(duì)待。直接的時(shí)空表述表明麥克斯韋方程組是相對(duì)論不變的。由于這種對(duì)稱性，電場(chǎng)和磁場(chǎng)被同等對(duì)待，并被認(rèn)為是邁克爾·法拉第張量的分量。這將四個(gè)麥克斯韋方程減少到兩個(gè)，簡化了方程，盡管我們不能再使用熟悉的向量公式。事實(shí)上，在空間+時(shí)間公式中的麥克斯韋方程組不是伽利略·伽利萊不變的，并且具有亨德里克·洛倫茲不變性作為隱藏的對(duì)稱性。這是相對(duì)論發(fā)展的主要靈感來源。狹義相對(duì)論能以協(xié)變張量來表達(dá)麥克斯韋方程組。
自由空間的麥克斯韋方程組的形式，對(duì)于任意慣性坐標(biāo)系，都是一樣的。在狹義相對(duì)論里，為了要更明確地表達(dá)出這論點(diǎn)，必須以四維向量和張量寫出協(xié)變形式的麥克斯韋方程組。這表述的一個(gè)構(gòu)成要素為電磁張量，其是結(jié)合了電場(chǎng)和磁場(chǎng)在一起的二階反對(duì)稱張量。電磁張量表示為：
使用赫爾曼·閔可夫斯基度規(guī)，
將下標(biāo)拉高為上標(biāo)，可以得到反變張量：
的二階對(duì)偶張量
又有四維電流密度：
其中，是電荷密度，是電流密度。
采用愛因斯坦求和約定，麥克斯韋方程組可以寫為
其中，是四維梯度。
這兩個(gè)張量方程等價(jià)于麥克斯韋方程組。第一個(gè)張量方程等價(jià)高斯定律和詹姆斯·麥克斯韋安培定律，第二個(gè)張量方程等價(jià)高斯磁定律和邁克爾·法拉第感應(yīng)定律。
彎曲時(shí)空里的協(xié)變形式
物質(zhì)和能量會(huì)造成時(shí)空彎曲。這是廣義相對(duì)論的主題。時(shí)空彎曲會(huì)影響電動(dòng)力學(xué)的物理。一個(gè)電磁場(chǎng)所擁有的能量和動(dòng)量也會(huì)造成時(shí)空彎曲。將平直時(shí)空的方程組中的偏導(dǎo)數(shù)改換為協(xié)變導(dǎo)數(shù)，就可以得到彎曲時(shí)空中的麥克斯韋方程組：
其中，是二階電磁張量。
而二階張量的協(xié)變導(dǎo)數(shù)為：
其中，是表現(xiàn)時(shí)空彎曲的克里斯托費(fèi)爾符號(hào)。
所以，麥克斯韋方程組又可以表示為
局限性
麥克斯韋方程組和洛侖茲力定律（以及經(jīng)典電磁學(xué)的其他部分）在解釋和預(yù)測(cè)各種現(xiàn)象方面非常成功。然而，它們沒有考慮量子效應(yīng)，因此它們的適用性領(lǐng)域是有限的。麥克斯韋方程組被認(rèn)為是量子電動(dòng)力學(xué)（QED）的經(jīng)典極限。一些觀測(cè)到的電磁現(xiàn)象與麥克斯韋方程組不相容。這些包括光子-光子散射和許多其他與光子或虛擬光子有關(guān)的現(xiàn)象，“非經(jīng)典光”和電磁場(chǎng)的量子糾纏（見量子光學(xué)）。例如，量子密碼學(xué)不能用麥克斯韋理論來描述，甚至不能近似地描述。麥克斯韋方程組的近似性質(zhì)在進(jìn)入極強(qiáng)場(chǎng)態(tài)（參見萊昂哈德·歐拉海森伯格拉格朗日量）或極小距離時(shí)變得越來越明顯。麥克斯韋方程組無法解釋任何涉及單個(gè)光子與量子物質(zhì)相互作用的現(xiàn)象，例如光電效應(yīng)、普朗克定律、杜安-亨特定律和單光子光探測(cè)器。然而，許多這樣的現(xiàn)象可以使用量子物質(zhì)耦合到經(jīng)典電磁場(chǎng)的中途理論來近似，無論是作為外部場(chǎng)還是麥克斯韋方程組右側(cè)的電荷電流和密度的期望值。
研究進(jìn)展
2022年1月13日，中國科學(xué)院北京納米能源與系統(tǒng)研究所（以下簡稱“中科院納米能源所”）在京舉辦重大科學(xué)成果發(fā)布會(huì)。會(huì)上，拓展型麥克斯韋方程組科學(xué)成果發(fā)布，王中林院士對(duì)麥克斯韋方程組進(jìn)行了成功拓展，相關(guān)成果發(fā)表在近期的國際學(xué)術(shù)期刊Materials Today。將麥克斯韋方程組基于靜態(tài)電磁場(chǎng)理論推廣到運(yùn)動(dòng)介質(zhì)，成功拓展了麥克斯韋方程組的運(yùn)用范圍，奠定了運(yùn)動(dòng)介質(zhì)電動(dòng)力學(xué)的理論基礎(chǔ)。
麥克斯韋方程組存在一個(gè)長期被忽視的局限性。該方程組的成立是有條件的，從數(shù)學(xué)角度看，由積分形式方程組推導(dǎo)出微分形式方程組的基本假設(shè)是方程中的時(shí)間微分和曲面積分可以互換，事實(shí)上，方程的成立是假設(shè)體系中介質(zhì)的形狀、分布、體積和表面都不隨時(shí)間變化，即處于靜止?fàn)顟B(tài)。然而，這種靜態(tài)介質(zhì)的假設(shè)在電動(dòng)力學(xué)教科書中一般沒有注明，因此不會(huì)關(guān)注微分形式麥克斯韋方程組的具體成立條件。相反，在很多領(lǐng)域直接用積分形式方程組建立各種理論模型。如果介質(zhì)是運(yùn)動(dòng)的，它的分布隨時(shí)間變化而變化，例如高速運(yùn)動(dòng)的飛機(jī)，運(yùn)行的火車等，此時(shí)方程不能嚴(yán)格成立。王中林院士首先意識(shí)到這個(gè)問題，為了推導(dǎo)出在有運(yùn)動(dòng)介質(zhì)情況下的麥克斯韋方程組，他建立了拓展型的麥克斯韋方程組：
2017年，他又首次拓展了位移電流的表達(dá)式，在電位移向量D'中引入Ps項(xiàng)，用來推導(dǎo)納米發(fā)電機(jī)的輸出功率，拓展了它們?cè)谀茉搭I(lǐng)域的應(yīng)用。
2019年，王中林推導(dǎo)出了納米發(fā)電機(jī)的輸運(yùn)方程，Ps項(xiàng)的解析表達(dá)式，以及不同負(fù)載下納米發(fā)電機(jī)的輸出功率和空間電磁場(chǎng)分布及其輻射的通用表達(dá)式。同時(shí)給出摩擦納米發(fā)電機(jī)四種模式的解析。
研究意義
詹姆斯·麥克斯韋方程組在電磁學(xué)中的地位，如同牛頓運(yùn)動(dòng)定律在力學(xué)中的地位一樣。它所揭示出的電磁相互作用的完美統(tǒng)一，為物理學(xué)家樹立了這樣一種信念：物質(zhì)的各種相互作用在更高層次上應(yīng)該是統(tǒng)一的。
經(jīng)典場(chǎng)論是19世紀(jì)后期麥克斯韋在總結(jié)電磁學(xué)三大實(shí)驗(yàn)定律并把它與力學(xué)模型進(jìn)行類比的基礎(chǔ)上創(chuàng)立起來的。但麥克斯韋的主要功績恰恰是他能夠跳出經(jīng)典力學(xué)框架的束縛：在物理上以"場(chǎng)"而不是以"力"作為基本的研究對(duì)象，在數(shù)學(xué)上引入了有別于經(jīng)典數(shù)學(xué)的向量偏導(dǎo)數(shù)運(yùn)算符。這兩條是發(fā)現(xiàn)電磁波方程的基礎(chǔ)。從麥克斯韋方程組的產(chǎn)生，形式，內(nèi)容和它的歷史過程中可以看到：第一，物理對(duì)象是在更深的層次上發(fā)展成為新的公理表達(dá)方式而被人類所掌握，所以科學(xué)的進(jìn)步不會(huì)是在既定的前提下演進(jìn)的，一種新的具有認(rèn)識(shí)意義的公理體系的建立才是科學(xué)理論進(jìn)步的標(biāo)志。第二，物理對(duì)象與對(duì)它的表達(dá)方式雖然是不同的東西，但如果不依靠合適的表達(dá)方法就無法認(rèn)識(shí)到這個(gè)對(duì) 象的"存在"。由此，第三，我們正在建立的理論將決定到我們?cè)诤畏N層次的意義上使我們的對(duì)象成為物理事實(shí)，，這正是現(xiàn)代最前沿的物理學(xué)所給我們帶來的困惑。
應(yīng)用
麥克斯維方程組可應(yīng)用于高速運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的探測(cè)方面，比如運(yùn)動(dòng)中的高鐵、高速飛行的飛機(jī)等等，可以解決高速運(yùn)動(dòng)目標(biāo)與電磁波相互作用、散射電磁波探測(cè)和目標(biāo)特征精確提取等難題。同時(shí)，在雷達(dá)、天線、航空、航天等需要無線通信的領(lǐng)域具有巨大的潛在應(yīng)用前景。
參考資料 >
麥克斯韋方程進(jìn)化史.海南大學(xué)信息與通信工程學(xué)院.2023-10-20
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曹則賢 | 電磁學(xué)/電動(dòng)力學(xué)：現(xiàn)象、技術(shù)與思想（下） | 中國科學(xué)院2023跨年科學(xué)演講.微信公眾平臺(tái).2023-11-09
最美的公式:你也能懂的麥克斯韋方程組(積分篇).澎湃新聞.2023-11-09
最美的公式：你也能懂的麥克斯韋方程組（微分篇）.澎湃新聞.2023-11-09
馮端：漫談物理學(xué)的過去、現(xiàn)在與未來.返樸.2023-08-22
0-1的創(chuàng)新突破！中科院納米能源所發(fā)布兩大重磅原創(chuàng)科學(xué)成果.科普中國.2023-10-20
論粒子能量、質(zhì)量、電荷的本質(zhì)聯(lián)系及其引申意義(2).人民論壇網(wǎng).2023-10-20
我國科學(xué)家建立拓展型麥克斯韋方程組 可應(yīng)用于雷達(dá)、航空、航天等領(lǐng)域.央視網(wǎng).2023-10-20