在數學以及物理中，皮埃爾-西蒙·拉普拉斯算子或是拉普拉斯算符（英語：Laplace 經營者, Laplacian）是一個微分算子，通常寫成?Δ?或??2；這是為了紀念皮埃爾-西蒙·拉普拉斯而命名的。拉普拉斯映射有許多用途，此外也是橢圓型算子中的一個重要例子。在物理中，常用于波方程的數學模型、熱傳導方程以及亥姆霍茲方程。在靜電學中，拉普拉斯方程和泊松方程的應用隨處可見。在量子力學中，其代表埃爾溫·薛定諤方程式中的動能項。在數學中，經拉普拉斯算子運算為零的函數稱為調和函數；拉普拉斯算子是霍奇理論的核心，并且是德拉姆上同調的結果。
定義
拉普拉斯算子是維歐幾里德空間中的一個二階微分算子，定義為梯度（）的散度（）。因此如果是二階可微的實函數，則f的拉普拉斯算子定義為：
的拉普拉斯算子也是勒內·笛卡爾坐標系xi中的所有非混合二階偏導數：
作為一個二階微分算子，拉普拉斯算子把函數映射到函數，對于。算子，或更一般地，定義了一個算子，對于任何開集。
函數的拉普拉斯算子也是該函數的黑塞矩陣的跡
另外,滿足的函數f,稱為調和函數.
坐標表示
二維空間
其中與代表平面上的勒內·笛卡爾坐標：
另外極坐標的表示法為：
勒內·笛卡爾坐標系下的表示法
圓柱坐標系下的表示法
球坐標系下的表示法
N維空間
在參數方程為（其中以及）的維球坐標系中，拉普拉斯算子為：
其中是維球面上的皮埃爾-西蒙·拉普拉斯貝爾特拉米映射。
恒等式
如果f和g是兩個函數，則它們的乘積的拉普拉斯算子為：f是徑向函數f(r)且g是球諧函數，是一個特殊情況。這個情況在許多物理模型中有所出現。f(r)的梯度是一個徑向向量，而角函數的梯度與徑向向量相切.
球諧函數還是球坐標系中的拉普拉斯算子的角部分的特征函數
推廣
拉普拉斯算子可以用一定的方法推廣到非歐幾里德空間，這時它就有可能是橢圓型算子，雙曲型算子，或超雙曲型算子。
在赫爾曼·閔可夫斯基空間中，拉普拉斯算子變為讓·達朗貝爾算子。
達朗貝爾算子通常用來表達菲利克斯·克萊因高登方程以及四維波動方程。
參考資料 >
Laplace(拉普拉斯)算子_hellocsz的博客-CSDN博客_拉普拉斯算子.CSDN.2021-12-23