泊松方程（法語(yǔ)：équation de 西莫恩·泊松）是數(shù)學(xué)中一個(gè)常見(jiàn)于靜電學(xué)、機(jī)械工程和理論物理的偏導(dǎo)數(shù)方程式，因法國(guó)數(shù)學(xué)家、幾何學(xué)家及物理學(xué)家泊松而得名的。
介紹
泊松方程為
在這里 △代表的是皮埃爾-西蒙·拉普拉斯算符(也就是哈密頓算符▽的平方)，而 f 和 φ 可以是在流形上的實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)值的方程。當(dāng)流形屬于歐幾里得空間，而拉普拉斯算子通常表示為，因此泊松方程通常寫(xiě)成在三維直角坐標(biāo)系，可以寫(xiě)成
如果沒(méi)有，這個(gè)方程就會(huì)變成拉普拉斯方程.
泊松方程可以用格林函數(shù)來(lái)求解；如何利用格林函數(shù)來(lái)解泊松方程可以參考screened 西莫恩·泊松 equation。現(xiàn)在有很多種數(shù)值解。像是relaxation method，不斷回圈的代數(shù)法，就是一個(gè)例子。
數(shù)學(xué)上，泊松方程屬于橢圓型方程（不含時(shí)一次方程）。
泊松首先在無(wú)引力源的情況下得到泊松方程，（即拉普拉斯方程）。當(dāng)考慮引力場(chǎng)時(shí)，有（f為引力場(chǎng)的質(zhì)量分布）。后推廣至電場(chǎng)磁場(chǎng)，以及熱場(chǎng)分布。該方程通常用格林函數(shù)法求解，也可以分離變量法，特征線法求解。
應(yīng)用
在靜電學(xué)很容易遇到泊松方程。對(duì)于給定的f找出φ是一個(gè)很實(shí)際的問(wèn)題，因?yàn)槲覀兘?jīng)常遇到給定電荷密度然后找出電場(chǎng)的問(wèn)題。在國(guó)際單位制（SI）中：
此?代表電勢(shì)（單位為伏特），是電荷體密度（單位為庫(kù)侖/立方米），而?是真空電容率（單位為法拉/米）。
如果空間中有某區(qū)域凈帶電粒子為0，則
如果有一個(gè)三維球?qū)ΨQ的高斯分布電荷密度：
此處，Q代表總電荷
此泊松方程：的解則為
erf(x)代表的是誤差函數(shù)。
注意：如果r遠(yuǎn)大于σ，erf(x)趨近
參考資料 >