在數(shù)學(xué)中，誤差函數(shù)（也稱之為高斯誤差函數(shù)，error 函數(shù) or Gauss error function）是一個(gè)非基本函數(shù)（即不是初等函數(shù)），其在概率論、統(tǒng)計(jì)學(xué)以及偏微分方程中都有廣泛的應(yīng)用。在統(tǒng)計(jì)學(xué)與機(jī)率論中，高斯函數(shù)是常態(tài)分布的密度函數(shù)，根據(jù)中心極限定理它是復(fù)雜總和的有限機(jī)率分布。高斯函數(shù)是量子諧振子基態(tài)的波函數(shù)。在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，高斯函數(shù)在厄爾米特多項(xiàng)式的定義中起著重要作用。在光學(xué)以及微波系統(tǒng)中有高斯波束的應(yīng)用。高斯函數(shù)在圖像處理中用作預(yù)平滑核。
具體內(nèi)容
定義
,
且有erf(∞)=1和erf(-x)=-erf(x)。
導(dǎo)數(shù)與積分
誤差函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為：
等等
誤差函數(shù)的重積分定義為：
且,
可得,
級(jí)數(shù)展開(kāi)式
誤差函數(shù)的級(jí)數(shù)展開(kāi)式為：
應(yīng)用
高斯函數(shù)的不定積分是誤差函數(shù)。在自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)、數(shù)學(xué)以及工程學(xué)等領(lǐng)域都有高斯函數(shù)的身影，這方面的例子包括：
計(jì)算化學(xué)中所用的分子軌道是名為高斯軌道的高斯函數(shù)的線性組合（參見(jiàn)量子化學(xué)中的基組）。
在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，高斯函數(shù)在厄爾米特多項(xiàng)式的定義中起著重要作用。
高斯函數(shù)與量子場(chǎng)論中的真空態(tài)相關(guān)。
在光學(xué)以及微波系統(tǒng)中有高斯波束的應(yīng)用。
高斯函數(shù)在圖像處理中用作預(yù)平滑核。
參考資料 >