曲率（Curvature）是描述曲線彎曲程度的數(shù)值。它是弧長關(guān)于轉(zhuǎn)角的變化率，在弧長相等時，轉(zhuǎn)角越大，曲率值越大；轉(zhuǎn)角相同時，弧長越小，曲率值越大。特別地，對于直線來說，曲率的數(shù)值為零；圓的曲率為其半徑的倒數(shù)。
曲率的概念起源于物理問題的研究。1673年，克里斯蒂安·惠更斯（Christian Huygens）在《鐘表的振動》中，采用純幾何方法研究了平面曲線的性質(zhì)，并證明了曲線上的點沿固定法線到曲率中心的距離是，其長度是曲線在該點的曲率半徑。之后，艾薩克·牛頓（艾薩克·牛頓）在《解析幾何》中也引進了曲率中心，給出了曲率的公式，并計算了一些曲線，包括擺線在內(nèi)的曲率。后來，曲率的不同定義方式被提出，有學(xué)者將概念進行了推廣。1775年，長城歐拉（Euler）用參數(shù)方程表示空間曲線，定義曲率半徑為。1827年，高斯（Gauss）將曲面上一點的曲率定義為曲面面積與球面上對應(yīng)區(qū)域的面積之比的極限。1854年，伯恩哈德·黎曼（Bernhard Riemann）談?wù)摿擞嘘P(guān)維空間的曲率問題。
曲率可以定義為密切圓半徑的倒數(shù)，曲率梳是一種反映曲率分布的作圖方式。由于曲線方程具有多種形式，曲率的計算公式也有所不同。平面曲率可以推廣到曲面、空間中，形成高斯曲率、黎曼曲率。此外，曲率在現(xiàn)實世界中應(yīng)用廣泛，如物理學(xué)中，使用局部坐標(biāo)系下計算得到的高斯曲率，能夠更有效地界定地下地質(zhì)結(jié)構(gòu)的邊界。
定義
設(shè)曲線的方程為，其中二階可導(dǎo)。曲率上取定一點，點處切線與軸正向的夾角記為。在點附近，取上另外一點。曲線段的弧長記為，切線的轉(zhuǎn)角記為。曲線在點處的曲率定義為當(dāng)越來越接近時，弧長關(guān)于轉(zhuǎn)角的變化率。
簡史
早期研究
曲率的概念起源于物理問題的研究。1673年，克里斯蒂安·惠更斯（Christian Huygens）在《鐘表的振動》中，采用純幾何方法研究了平面曲線的性質(zhì)。他在曲線上點處給了一條固定的法線，當(dāng)一條相鄰的法線移向這固定的法線時，這兩條法線的交點在固定法線上達(dá)到極限位置，就叫做曲線在點的曲率中心。惠更斯證明了曲線上的點沿固定法線到這極限位置的距離是，其長度是曲線在點的曲率半徑。牛頓（艾薩克·牛頓）在《解析幾何》中也引進了曲率中心的概念，作為點的法線及其鄰點法線的交點的極限點。牛頓還給出了曲率的公式，并計算了一些曲線，包括擺線在內(nèi)的曲率。
后續(xù)發(fā)展
后來，曲率的不同定義方式被提出，有學(xué)者將概念進行了推廣。1775年，歐拉（Euler）用參數(shù)方程表示空間曲線，他關(guān)于曲線的曲率半徑的定義是，其中是曲線上相距的兩點的兩個相鄰切線的弧或角。之后，克萊勞特（Clairaut）曾經(jīng)引進了空間曲線有兩個曲率的想法：其中的一個曲率由歐拉敘述過的方式加以標(biāo)準(zhǔn)化；另一個曲率為現(xiàn)今的“撓率”——幾何上表示一條曲線從點處的一個平面離開的速率，后來由工程師和數(shù)學(xué)家米歇爾—昂熱·蘭克雷特（Michel-Ange Lancret）用分析方法求出。1826年，奧古斯丁-路易·柯西（Cauchy）將曲率中心定義為兩條無限接近曲線的法線的交點。次年，gaussian（Gauss）在歐拉將曲率用于空間曲線和奧林德·羅德里格斯（Olinde Rodrigues）用于曲面的標(biāo)形的基礎(chǔ)上，對曲率進行了推廣。高斯認(rèn)識到曲面面積與球面上對應(yīng)區(qū)域的面積之比的極限的重要性，并用它作為曲面在一點的曲率的定義。1854年，德國數(shù)學(xué)家伯恩哈德·黎曼（Bernhard Riemann）在他的就職演說中，談?wù)摿擞嘘P(guān)維空間的曲率問題。
相關(guān)概念
曲率圓與曲率半徑
曲率也可以定義為密切圓半徑的倒數(shù)。
曲率半徑：設(shè)曲線上點處的曲率，則稱為曲線在點處的曲率半徑，記為，即。
曲率圓：作曲線在點處切線的垂線（即法線），在曲線凹向一側(cè)的法線上取，以為圓心，為半徑的圓稱為曲線在點處的曲率圓，稱為曲率中心。
曲率函數(shù)
曲率函數(shù)通過弧長參數(shù)化的方式來定義。在考慮機械手臂末端的三個手指如何移動并抓取物體時，設(shè)計者需要通過參數(shù)化路徑來確保機械手臂能夠準(zhǔn)確地定位和調(diào)節(jié)手指。參數(shù)化路徑不僅能夠指導(dǎo)機械手臂到達(dá)正確的位置，還能正確地調(diào)整其手指的姿態(tài)。通過理解機械手臂沿著曲線移動時，三個手指與曲線的相對位置，可以進一步掌握曲線的幾何特性，如曲線的旋轉(zhuǎn)和平移。這種幾何變換可以通過弗雷內(nèi)特（Frenet）公式來描述。
曲率函數(shù)：設(shè)是有單位速度的曲線（），以表示的單位切向量，為的法線。這里不要求的長度為，可以定義的曲率函數(shù)為。
定義為的主法向量，定義為的副法向量，稱為的弗雷內(nèi)特標(biāo)架。、、沿曲線的變化將反映曲線自身在空間中是如何旋轉(zhuǎn)彎曲的。由的定義知，，所以曲率描述了方向上的變化。
曲率梳
曲率梳：曲率梳是一種反映曲率分布的作圖方式。定義直線段
，
它表示在曲線上的某個點，沿著法向量的方向畫一條直線段。當(dāng)時，直線段的長度剛好等于曲率的絕對值。
公式中，縮放因子的作用是調(diào)整所有直線段的長度，避免出現(xiàn)太長的直線段而無法顯示，或者因為所有曲率值都很接近于零而出現(xiàn)整體不明顯的圖形，經(jīng)過相同比例的縮放后使直線段能夠更合理且完美地呈現(xiàn)在曲線上。對曲線離散后，直線段就像一根根的“梳齒”一樣掛在曲線上，外形看起來像梳子，并且梳齒的長短反映了曲率的變化規(guī)律。所以，這種將曲線和反映曲率值大小的直線段相結(jié)合的作圖方式被形象地稱為曲率梳。在曲率梳作圖時，建議使用曲線的弧長參數(shù)化表示，這樣能夠使梳齒等距分布在曲線上，達(dá)到更好的視覺效果。
幾何意義
曲線的曲率是曲線切線傾角對弧長的變化率的絕對值。曲線在某一點的曲率刻畫了曲線在該點的彎曲程度。當(dāng)弧長相等的時候，轉(zhuǎn)角越大，彎曲程度越大；當(dāng)轉(zhuǎn)角相同的時候，弧長越小，彎曲程度越大。對于直線來說，，即直線不彎曲。對于圓來說，，即圓彎曲程度處處相同，且半徑越小，彎曲得越厲害。
相關(guān)公式
（1）普通方程：設(shè)曲線的方程是，且存在，則曲線在處的曲率公式為：。
（2）參數(shù)方程：設(shè)曲線的參數(shù)方程為，則曲線在點處的曲率公式為：。
證明：設(shè)平面曲線具有二階導(dǎo)數(shù)，此時連續(xù)，曲線是光滑的。在曲線上取兩點，（在的右側(cè)），記的長為，的切線轉(zhuǎn)角為。
由導(dǎo)數(shù)定義可知，，即，于是，可得
，
另外，當(dāng)很小時，有，那么
，
即
，
由此可得弧微分
，
將和代入曲率的定義式，可得到曲率的計算公式。
（3）隱式方程：對于用隱式定義的曲線，其相應(yīng)的曲率公式是，這里的下標(biāo)和的意思是對和求偏導(dǎo)，例如。
計算
拋物線
例1：拋物線上哪一點的曲率最大。
解：由題意得，，。
可知，當(dāng)時，最大。
又因為拋物線的頂點，故拋物線在頂點處的曲率最大。
擺線
例2：求擺線在處的曲率。
解：由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導(dǎo)法則，得，上式兩邊再對求一次導(dǎo)，得，因此。
由曲率計算公式得。
推廣
曲面曲率
主曲率：經(jīng)過曲面上一個點可以有無數(shù)個不同方向的曲線，因此曲面上的點在不同方向上有不同的曲率，主曲率為其中的最大值和最小值，記作和。當(dāng)曲線轉(zhuǎn)向與平面給定法向量相同方向時，曲率取正值，否則取負(fù)值。主曲率方向互相垂直。
高斯曲率與平均曲率：若已知曲面上點處的兩個主曲率和，則定義高斯曲率為：，定義平均曲率為：。其中高斯曲率又稱作全曲率或總曲率。
第二基本形式：曲面的第二基本形式近似地等于曲面上一點沿方向的有向距離的兩倍。它刻畫了曲面在該點沿方向上的彎曲程度。設(shè)曲面有參數(shù)表示，，為曲面的坐標(biāo)切向量，這時是的單位法向量，曲面的第二基本形式定義為。將其進行參數(shù)化表示，可得到曲面的第二類基本量。曲面的高斯曲率和平均曲率可通過曲面的第一、二類基本量來計算。
曲面的形狀映射：若，則對在的每一切向量，記，其中是中點鄰域上的單位法向量場。稱為在點的由導(dǎo)出的形狀算子?？梢苑从?a href="/hebeideji/7893813850046306950.html">曲面的形狀，其行列式、跡、特征值等都會代表一定的幾何特征。曲面上點處的高斯曲率，平均曲率。
黎曼曲率
黎曼曲率：對黎曼空間內(nèi)一點的兩個線性無關(guān)向量和，則為，所確定的平面的黎曼曲率，又稱截面曲率。
黎曼曲率是上述短程面在點的高斯曲率。黎曼曲率應(yīng)具有如下的特點：
（1）一般來說，應(yīng)與、有關(guān)。
（2）在黎曼空間中，矢量的二次協(xié)變微商不可交換，實際上是由空間的彎曲所引起，可見應(yīng)與有關(guān)。
（3） 應(yīng)為標(biāo)量，則應(yīng)與坐標(biāo)系無關(guān)。
（4）當(dāng)、線性組合成另外兩個矢量，時，、所確定的切平面與、所確定的相同，因此應(yīng)是關(guān)于上述變換的不變量。
（5）為平直空間的充要條件是對全部矢量、都有。
應(yīng)用
工程學(xué)
在工程學(xué)中，曲率可應(yīng)用在預(yù)防滾動軸承損傷的理論中。通過計算滾動軸承內(nèi)圈次表面裂紋的曲率，可以看出其對軸承的損傷程度以及壽命的影響。通過構(gòu)建軸承有限元模型，模擬滾道次表面不同曲率的初始裂紋在徑向載荷下的動態(tài)擴展過程，可以得出，在相同工況下，0.25mm-1~1.67mm-1曲率范圍內(nèi)的次表面裂紋，曲率較大的裂紋兩端的應(yīng)力較小；次表面裂紋的曲率越大，裂紋的擴展長度和角度均越小；曲率較大的次表面裂紋對軸承的損傷程度以及壽命的影響較小。這種機制的發(fā)現(xiàn)讓工程師能夠通過優(yōu)化曲率來提高軸承的耐用性，通過調(diào)整次表面裂紋的曲率減少裂紋擴展對軸承性能的影響，延長其使用壽命。
物理學(xué)
在物理學(xué)領(lǐng)域，重力梯度張量曲率廣泛用于重力數(shù)據(jù)的處理和解釋中。通過精確計算曲率的測量參考系以及考慮局部旋轉(zhuǎn)的影響，重力梯度張量曲率的應(yīng)用可以顯著提升對重力數(shù)據(jù)邊界識別的準(zhǔn)確性。在該應(yīng)用中，采用基于等位面的局部旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系是確保各種曲率準(zhǔn)確計算的關(guān)鍵，這種方法有助于糾正以往在計算過程中可能出現(xiàn)的誤差；在邊界識別方面，使用局部坐標(biāo)系下計算得到的高斯曲率，能夠更有效地界定地下地質(zhì)結(jié)構(gòu)的邊界。
計算機科學(xué)
在計算機科學(xué)領(lǐng)域，全曲率可應(yīng)用于無參考視頻穩(wěn)定質(zhì)量評價算法中，從而改進對劇烈的抖動敏感或與主觀評價結(jié)果一致性不高等問題。這種改進算法首先檢測相鄰兩幀圖像的特征點，計算相鄰幀間單應(yīng)變換；然后將單應(yīng)變換映射到李群空間形成運動路徑；最后借助離散測地逼近方法計算運動路徑全曲率，以此衡量運動路徑平滑程度，進而評價視頻穩(wěn)定程度。該算法獲得的視頻穩(wěn)定評價結(jié)果與人眼主觀評價結(jié)果的相關(guān)性達(dá)到97%，相比于幀間保真度、頻域分析等現(xiàn)有評價算法提高20%以上。
參考資料 >
術(shù)語在線.術(shù)語在線.2024-03-26