弧長（arc length），是曲線的剛體運動不變量。在研究曲線時，用弧長作參數，可大大簡化公式，并較容易導出其他不變量。不是所有的曲線都能定義長度，能夠定義長度的曲線稱為可求長曲線。最早研究的曲線弧長是圓弧的長度，所以狹義上，特指圓弧的長度。
在半徑為R的圓中，因為360°的圓心角所對的弧長就是圓周長C=2πR，所以1°的圓心角所對的弧長是2πR/360，即πR/180。于是n°的圓心角所對的弧長為。
基本概念
在研究曲線時，我們總引進弧長作為參數，一方面是由于曲線的一般參數 t 不具有任何幾何意義，另一方面，因為弧長是曲線的剛體運動不變量，用弧長作參數，可大大簡化公式，并較容易導出其他不變量。
設為連續曲線(如圖1)。它的端點分別為A，B，在A，B之間任取n-1個點：。為方便計，把A寫成，把B寫成。它們將分成n段。設各點對應的參數依次為。用直線段連結相鄰的點，得到一折線形，它的長：當分點無限增加時，若σ趨于一個與分點的選擇無關的確定極限，則稱此極限為 曲線段AB的弧長。
曲線有長度的充要條件是其坐標函數為有界變差函數。特別，微分幾何中考慮的類曲線都有長度。曲線Γ在之間的長度可用公式：表示。弧長稱為曲線的 自然參數。
在取自然參數時，曲線的方程：此時，有 (表示對弧長s的 導矢)，反之，若，則t可視為曲線從某點量起的弧長參數。
計算
下面我們用導數元素法計算曲線的長度。
設平面曲線C的參數表示為：
其中與連續可導，且 ，這樣的稱為 光滑曲線。
顯然這時曲線的長度L對于區間可加．且對任意的與小區間相應的弧長
故由導數元素法可知曲線總長為
同樣，對于空間光滑曲線曲線總長為若平面光滑曲線C被表達成了直角坐標形式
則C也有參數表示
故由公式(1)可知這時
例1 證明：圓的周長是。
證明: 由對稱性可知所求周長是第一象限部分長度的4倍，在第一象限中圓的參數方程是
故由公式(1)得圓的周長
計算公式
半徑為R的圓中，的圓心角所對弧長的計算公式為。
圓的弧長
圓的弧長與角度（弧度）成正比。設圓的半徑為r，那么弧度α對應的圓弧的弧長是rα；角度θ對應的圓弧的弧長是rπθ/180。整個圓周的周長是：C=2πr。
參考資料 >
弧長.知網空間.2024-01-11