剛體（Rigid Body）是一種理想的力學(xué)模型。剛體通常是指在運(yùn)動中或受力作用后，形狀和大小不變，而且內(nèi)部各點(diǎn)的相對位置不變的物體。實(shí)際上，絕對的剛體是不存在的。
1775年，萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler）提出剛體的概念，把艾薩克·牛頓第二定律推廣到剛體，應(yīng)用三個(gè)歐拉角來表示剛體繞定點(diǎn)轉(zhuǎn)動的角位移，導(dǎo)出了剛體定點(diǎn)轉(zhuǎn)動的運(yùn)動微分方程，完整地建立了描述具有六個(gè)自由度的剛體普遍運(yùn)動方程。
剛體在機(jī)械工程、物理學(xué)、計(jì)算機(jī)圖形學(xué)等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛。在機(jī)械工程中，設(shè)計(jì)和分析機(jī)械結(jié)構(gòu)時(shí)，通常將其視為剛體，以簡化計(jì)算和預(yù)測其運(yùn)動和受力情況。在物理學(xué)中，為了使問題簡化，對外力作用下形變并不顯著的物體，常用剛體這一模型來處理問題。在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中，剛體動畫用于模擬物體的運(yùn)動和碰撞，如游戲、電影特效等。
定義
力學(xué)
剛體是在力的作用下，內(nèi)部任意兩點(diǎn)的距離保持不變的理想物體。客觀世界中并不存在受力而不變形的物體，剛體只是一種理想化的力學(xué)模型。
在靜力學(xué)中，力作用下物體的平衡是研究的主要問題。物體的微小變形對平衡研究的影響很小，因此，可以認(rèn)為在外力作用下，物體的大小和形狀都不會發(fā)生變化，此時(shí)將物體視為剛體進(jìn)行分析可以簡化計(jì)算。
運(yùn)動學(xué)
剛體可以看成是由許多質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)稱為剛體的一個(gè)質(zhì)元。因此，質(zhì)點(diǎn)系的基本定理都適用于剛體。剛體作為質(zhì)點(diǎn)系其特點(diǎn)是，剛體任意質(zhì)元間距離保持不變，亦即內(nèi)部任意兩點(diǎn)的距離在運(yùn)動過程中始終保持不變，即運(yùn)動過程中不發(fā)生形變。
簡史
1775年，萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler）提出剛體的概念，他采用了反作用力的概念來隔離剛體用以描述鏈等約束，并建立了牛頓-歐拉方程的矢量力學(xué)方法。長城歐拉把艾薩克·牛頓（Isaac Newton）第二定律推廣到剛體，他應(yīng)用三個(gè)歐拉角來表示剛體繞定點(diǎn)轉(zhuǎn)動的角位移，又定義轉(zhuǎn)動慣量，并導(dǎo)出了剛體定點(diǎn)轉(zhuǎn)動的運(yùn)動微分方程。這樣就完整地建立了描述具有六個(gè)自由度的剛體普遍運(yùn)動方程。對于剛體來說，內(nèi)力所做的功之和為零。因此，剛體動力學(xué)就成為了研究一般固體運(yùn)動的近似理論。
性質(zhì)
自由度
自由度是指描述物體運(yùn)動所需要的獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)。自由剛體的自由度數(shù)為6，非自由剛體的自由度數(shù)小于6。剛體由無數(shù)個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成，但由于各質(zhì)點(diǎn)間的距離保持不變，因而確定自由剛體幾何位形的變數(shù)只要6個(gè)。
空間直角坐標(biāo)系又稱勒內(nèi)·笛卡爾直角坐標(biāo)系，它是以空間一點(diǎn)O為原點(diǎn)，建立3條兩兩相互垂直的數(shù)軸，即X 軸、Y 軸和Z 軸。
在三維空間中描述一個(gè)物體的位姿（即位置和姿態(tài)）需要6個(gè)自由度：
沿空間直角坐標(biāo)系O-XYZ 的X、Y、Z 3個(gè)軸平移運(yùn)動Tx、Ty、Tz；
繞空間直角坐標(biāo)系O-XYZ 的X、Y、Z 3個(gè)軸旋轉(zhuǎn)運(yùn)動Rx、Ry、Rz。
質(zhì)心
剛體是由連續(xù)分布的質(zhì)點(diǎn)所組成的質(zhì)點(diǎn)組。物體、體積、面積或直線的質(zhì)心指存在這樣一個(gè)點(diǎn)它可使物體、體積、面積或直線通過此點(diǎn)支撐時(shí)，在所有的位置均可獲得完美的平衡。對均質(zhì)材料的對稱物體，其質(zhì)心在幾何中心處。例如，均勻圓桿的質(zhì)心在其直徑的中心，并位于桿長一半的位置處；球的質(zhì)心在其球體的中心。對非對稱的實(shí)體、面積和圓弧，其質(zhì)心可通過試驗(yàn)方法獲得，或者使用公式計(jì)算獲得。
內(nèi)力做功為零
內(nèi)力總是成對出現(xiàn)，設(shè)質(zhì)點(diǎn)系中質(zhì)點(diǎn)A和質(zhì)點(diǎn)B之間的相互作用為FA和FB。根據(jù)作用力與反作用定律有：
這時(shí)作用力的元功之和為：
即：
式中，為點(diǎn)A相對于點(diǎn)B的矢徑；為A相對B的相對位移。剛體內(nèi)任意兩點(diǎn)間的距離始終保持不變，所以剛體內(nèi)力做功的和恒等于零。
剛體運(yùn)動
運(yùn)動方式
平動
在運(yùn)動過程中，若剛體內(nèi)部任意兩質(zhì)元間的連線在各個(gè)時(shí)刻的位置都和初始時(shí)刻的位置保持平行，這樣的運(yùn)動稱為剛體的平動。剛體上任意質(zhì)元的位置矢量不同，相差一恒矢量，但在平動過程中的任意一段時(shí)間內(nèi)，所有質(zhì)元的運(yùn)動軌跡和位移都是相同的，并且在任意時(shí)刻，各個(gè)質(zhì)元均具有相同的速度和加速度。所以，當(dāng)剛體作平動時(shí)，可以選取剛體中任一質(zhì)元的運(yùn)動來表示出整個(gè)剛體的運(yùn)動。由此，平動的剛體可當(dāng)成一個(gè)質(zhì)點(diǎn)來處理。
轉(zhuǎn)動
若剛體上各個(gè)質(zhì)元都繞同一直線作圓周運(yùn)動，這樣的運(yùn)動稱作剛體的轉(zhuǎn)動，這條直線稱為轉(zhuǎn)軸（這根軸可在剛體之內(nèi)，也可在剛體之外）。在剛體轉(zhuǎn)動過程中，若轉(zhuǎn)軸的方向或位置隨時(shí)間變化，這樣的運(yùn)動稱為剛體的非定軸轉(zhuǎn)動，該轉(zhuǎn)軸稱為轉(zhuǎn)動瞬軸，如車輪的滾動等。若轉(zhuǎn)軸固定不動，即既不改變方向又不發(fā)生平移，這樣的轉(zhuǎn)動稱為剛體的定軸轉(zhuǎn)動，該轉(zhuǎn)軸稱為固定軸，如門繞門軸的轉(zhuǎn)動、電機(jī)定子和轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動等。
一般運(yùn)動
剛體不受任何限制的任意運(yùn)動稱為剛體的一般運(yùn)動。剛體的一般運(yùn)動可視為兩種剛體的基本運(yùn)動形式的疊加：隨基點(diǎn)O（基點(diǎn)可任選）的平動和繞通過基點(diǎn)O的瞬時(shí)軸的定點(diǎn)轉(zhuǎn)動。例如，車輪的直線滾動、汽車的自動變速器內(nèi)的行星齒輪等的運(yùn)動都可視為剛體的平面平行運(yùn)動。
剛體的取向
方向余弦
方向余弦是表示向量方向的一種方法。由于兩個(gè)單位向量的點(diǎn)積在數(shù)值上等于兩個(gè)向量之間夾角的余弦，通過此方法得到的旋轉(zhuǎn)矩陣也稱為方向余弦矩陣。方向余弦矩陣不僅可用來描述作定點(diǎn)運(yùn)動的剛體的位置，而且由于其本身的一些重要性質(zhì)，其在剛體運(yùn)動學(xué)和動力學(xué)中具有非常廣泛的應(yīng)用。
歐拉角
歐拉角是用于確定定點(diǎn)轉(zhuǎn)動剛體位置的一組獨(dú)立角參量，是一種直觀的姿態(tài)表示方法。歐拉角的參量有三個(gè)，其物理意義是機(jī)體坐標(biāo)系和地面坐標(biāo)系之間的夾角，也被稱作姿態(tài)角。三個(gè)姿態(tài)角用來表示，分別表示機(jī)體坐標(biāo)系轉(zhuǎn)動到地面坐標(biāo)軸系x、y、z軸重合時(shí)的旋轉(zhuǎn)夾角。
四元數(shù)
四元數(shù)是在1943年由B.P.哈密頓（B.P.Hamilton）首先在數(shù)學(xué)中引人的，目的是力求像解決平面中的轉(zhuǎn)力問題那樣來解決剛體的空間定點(diǎn)轉(zhuǎn)動問題，進(jìn)而建立四元數(shù)理論。四元數(shù)是由1個(gè)實(shí)數(shù)單位1和3個(gè)虛數(shù)單位i、j、k組成的包含4個(gè)實(shí)元的超復(fù)數(shù)，其表達(dá)式為：
或
且滿足：
式中：q0為四元數(shù)的實(shí)數(shù)部分或標(biāo)量部分；q1、q2、q3均為實(shí)數(shù)。
相關(guān)定理
歐拉旋轉(zhuǎn)定理
該定理指出，對于基點(diǎn)固定的剛體，其運(yùn)動可以分解為繞某個(gè)或多個(gè)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動。歐拉旋轉(zhuǎn)定理表明，通過圍繞固定于本體固連系和慣性系中的某個(gè)軸旋轉(zhuǎn)剛體，剛體的姿態(tài)可以由任意給定定向改變?yōu)槿我馄渌ㄏ颉?/p>
沙勒定理
沙勒定理是萊昂哈德·歐拉旋轉(zhuǎn)定律的一個(gè)推論。根據(jù)沙勒定理，剛體的最廣義位移等價(jià)于一個(gè)平移加上一個(gè)旋轉(zhuǎn)。所以，剛體運(yùn)動可分為平移運(yùn)動與旋轉(zhuǎn)運(yùn)動。剛體的現(xiàn)在位置與現(xiàn)在取向可以視為是從某個(gè)初始位置與初始取向經(jīng)過平移與旋轉(zhuǎn)而成。
應(yīng)用
機(jī)械工程
工程力學(xué)的研究對象，依據(jù)所研究問題的目的不同而取不同的力學(xué)模型。當(dāng)研究和分析各種力系的簡化和平衡問題，研究結(jié)構(gòu)的組成規(guī)律時(shí)，通常將被研究的物體視為剛體。很多物體的變形十分微小，當(dāng)這種變形在可以不被考慮或暫時(shí)可以不被考慮的情況下時(shí)，可以把物體視為剛體。例如，房屋結(jié)構(gòu)中的梁和柱，在受力后將分別產(chǎn)生彎曲變形和壓縮變形。當(dāng)研究其中的梁、柱的平衡以及整個(gè)房屋結(jié)構(gòu)的平衡問題時(shí)，都不考慮它們受力后的這些微小變形，而將其看成不變形的剛體。這樣，大大簡化了其平衡問題的分析計(jì)算。
物理學(xué)
處于固態(tài)的物質(zhì)，有一定的形狀和大小，但任何固體在外力作用下，其形狀和大小都要發(fā)生變化。在物理學(xué)中，為了使問題簡化，對外力作用下形變并不顯著的物體，常用剛體這一模型來處理問題。物體是否可以看成剛體，要由研究問題的性質(zhì)決定，一個(gè)物體在這個(gè)問題中可以看成剛體，而在研究它的其他一些運(yùn)動時(shí)，則又不一定能把它看成剛體。例如，在研究地球的自轉(zhuǎn)對地面上物體運(yùn)動的影響時(shí)可以把地球看作剛體，而在研究地殼中地震波的傳播時(shí)就不能將地球看作剛體。
計(jì)算機(jī)圖形學(xué)
在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中，剛體動畫用于模擬物體的運(yùn)動和碰撞，如游戲、電影特效等。
電影后期制作中，有相當(dāng)多的特效鏡頭都需要針對剛體的運(yùn)動進(jìn)行模擬。小規(guī)模的模擬例如物體的掉落、數(shù)個(gè)物體的碰撞，需要為數(shù)不多的剛體在同一個(gè)場景中進(jìn)行碰撞解算；大規(guī)模的模擬如爆炸、倒塌、破碎，則需要大量剛體在同一個(gè)場景中進(jìn)行碰撞解算。
模擬軟件中，通過降低計(jì)算模擬體系的自由度和凍結(jié)高頻振動來提高計(jì)算速度，使許多生命科學(xué)現(xiàn)象但無法通過全原子模擬得到的，在這里能夠克服。對大的分子體系劃分成的剛體，通過對所組成的原子受力的矢量運(yùn)算完成，很大程度上又保證了計(jì)算所需要精度。還有許多機(jī)器部件的運(yùn)動，艦船、飛機(jī)、火箭等航行器的運(yùn)動以及天體運(yùn)動等都與其息息相關(guān)。
醫(yī)學(xué)
微創(chuàng)拔牙：把牙齒看作是一個(gè)剛體，把牙槽窩看成是剛性限制。通過合理的力學(xué)設(shè)計(jì)，讓牙齒在脫位過程中盡量減小對牙槽骨吸收的壓力，將牙槽骨的形變控制在最小范圍，就能達(dá)到微創(chuàng)的目的。而牙齒的無阻力或微阻力脫位，減小了頜骨的受力，同時(shí)也就保護(hù)了下頜關(guān)節(jié)和頸椎。
參考資料 >
[科普中國]-沙勒定理.科普中國網(wǎng).2024-01-30