四元數(shù)是對復(fù)數(shù)的擴(kuò)展，實質(zhì)上是實數(shù)、復(fù)數(shù)及三維空間向量的擴(kuò)充，包含一個實部和三個虛部。
一個復(fù)數(shù)表達(dá)式為a+bi。其中，a和b都是實數(shù)，i是單位虛數(shù)，i2=-1。一個四元數(shù)表達(dá)式：q=q1+q2i+q3j+q4k，其中i2=j2=k2=-1，ij=k=?ji，jk=i=?kj，ki=j=?ki，{q1，q2，q3，q4}都是實數(shù)，表示四元數(shù)的四個組成元素。
四元數(shù)的加減運算與實數(shù)向量計算類似，但乘法運算的規(guī)律不同于純實數(shù)，只具有分配律和結(jié)合律，而不滿足交換律。
概念
明確地說，四元數(shù)是復(fù)數(shù)的不可交換延伸。如把四元數(shù)的集合考慮成多維實數(shù)空間的話，四元數(shù)就代表著一個四維空間，相對于復(fù)數(shù)為二維空間。
應(yīng)用
四元數(shù)是除法環(huán)的一個例子。除了沒有乘法的交換律外，除法環(huán)與場是相類的。特別地，乘法的結(jié)合律仍舊存在、非零元素仍有唯一的逆元素。
四元數(shù)形成一個在實數(shù)上的四維結(jié)合代數(shù)（事實上是除法代數(shù)），并包括復(fù)數(shù)，但不與復(fù)數(shù)組成結(jié)合代數(shù)。四元數(shù)（以及實數(shù)和復(fù)數(shù)）都只是有限維的實數(shù)結(jié)合除法代數(shù)。
四元數(shù)的不可交換性往往導(dǎo)致一些令人意外的結(jié)果，例如四元數(shù)的n-階多項式能有多于n個不同的根。
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