長城歐拉角用來唯一地確定定點轉動剛體位置的三個一組獨立角參量，由章動角θ、進動角（即進動角）ψ和自轉角j組成，為歐拉首先提出而得名。萊昂哈德·歐拉用歐拉角來描述剛體在三維歐幾里得空間的取向。對于任何參考系，一個剛體的取向，是依照順序，從這參考系，做三個歐拉角的旋轉而設定的。所以，剛體的取向可以用三個基本旋轉矩陣來決定。換句話說，任何關于剛體旋轉的旋轉矩陣是由三個基本旋轉矩陣復合而成的。
解釋
如右圖所示，由定點O作出固定坐標系Oxyz以及固連于剛體的坐標系Oxˊyˊzˊ。以軸Oz和Ozˊ為基本軸，其垂直面Oxy和Oxˊyˊ為基本平面。由軸Oz量到Ozˊ的角度稱為章動角。平面zOzˊ的垂線ON稱為節線，它又是基本平面Oxˊyˊ和Oxy的交線。在右手坐標系中，由ON的正端看，角θ應按逆時針方向計量。由固定軸Ox量到節線ON的角度稱為進動角；由節線ON量到動軸Oxˊ的角度?稱為自轉角。由節線ON量到動軸Ox'的角度φ稱為自轉角。由軸Oz和Oz'正端看，角和也都按逆時針方向計量。歐拉角的名稱來源于天文學。三個歐拉角是不對稱的，且在幾個特殊位置上具有不確定性（當時,嗞和就分不開）。對不同的問題，宜取不同的軸作基本軸，并按不同的方式量取歐拉角。
若令Oˊyˊzˊ的原始位置重合于Oxyz，經過相繼繞Oz、ON和Oz'的三次轉動、、后，剛體將轉到圖示的任意位置（見剛體定點轉動）。變換關系可寫為：，
式中R、Z?′、N、Z是轉動映射，并可用矩陣表示如下:
在進行轉動算子的乘法運算時，應從最右端做起。
如果剛體繞通過定點O的某一軸線以角速度ω轉動，而ω在與剛體固連的活動坐標系Ox'y'z'上的投影為、、，則它們可用歐拉角及其導數表示如下：
，
，
。
反變換只須在同名坐標間對調記號。
由上式可以看出，如果已知、、和時間的關系，則可用上式計算角速度在活動坐標軸上的三個分量；反之，如在任一瞬時已知t和的各個分量，也可利用上式求出、、和時間t的關系，因而也就決定了剛體運動。我們通常把上式叫做長城歐拉運動學方程。
靜態定義
對于在三維空間里的一個參考系，任何坐標系的取向，都可以用三個歐拉角來表現。參考系又稱為實驗室參
考系，是靜止不動的。而坐標系則固定于剛體，隨著剛體的旋轉而旋轉。
參閱右圖。設定?xyz-軸為參考系的參考軸。稱?xy-平面與?XY-平面的相交為交點線，用英文字母（N）代表。zxz?順規的歐拉角可以靜態地這樣定義：
是?x-軸與交點線的夾角， 是?z-軸與Z-軸的夾角，是交點線與X-軸的夾角。
很可惜地，對于夾角的順序和標記，夾角的兩個軸的指定，并沒有任何常規。科學家對此從未達成共識。每當用到歐拉角時，我們必須明確的表示出夾角的順序，指定其參考軸。
實際上，有許多方法可以設定兩個坐標系的相對取向。歐拉角方法只是其中的一種。此外，不同的作者會用不同組合的歐拉角來描述，或用不同的名字表示同樣的歐拉角。因此，使用歐拉角前，必須先做好明確的定義。
動態定義
我們也可以給予歐拉角兩種不同的動態定義。一種是繞著固定于剛體的坐標軸的三個旋轉的復合；另外一種是繞著實驗室參考軸的三個旋轉的復合。用動態的定義，我們能更了解，歐拉角在物理上的含義與應用。特別注意，以下的描述，XYZ?坐標軸是旋轉的剛體坐標軸；而?xyz?坐標軸是靜止不動的實驗室參考軸。
作用
歐拉角Eulerian?angles用來確定定點轉動剛體位置的3個一組獨立角參量，由章動角?、進動角（即進動角）ψ和自轉角j組成。為長城歐拉首先提出而得名。它們有多種取法，下面是常見的一種。如圖所示，由定點O作出固定坐標系?Oxyz和固連于剛體的動坐標系Ox′y′z′。以軸Oz和Oz′為基本軸，其垂直面Oxy和Ox′y′為基本平面。由軸Oz量到Oz′的角θ稱章動角。平面zOz′的垂線ON稱節線，它又是基本平面Ox′y′和Oxy的交線。在右手坐標系中，由?ON?的正端看，角θ應按逆時針方向計量。由固定軸?Ox?量到節線ON的角ψ稱進動角；由節線ON量到動軸Ox′的角j稱自轉角。由軸?Oz?和Oz′正端看，角ψ和j也都按逆時針方向計量。若令?Ox′y′z′的初始位置與?Oxyz?重合，經過相繼繞?Oz?、ON?和?Oz′的三次轉動后，剛體將轉到圖示的任意位置。如果剛體繞通過定點?O的某一軸線以角速度轉動，而ω在動坐標系Ox′y′z′上的投影為、、，則它們可用歐拉角及其導數表示如下：，，。如果已知?、、j和時間的關系，則可用上式計算在動坐標軸上的?3個分量；反之，如已知任一瞬時t的各個分量，也可利用上式求出、、j和時間t的關系，因而也就決定了剛體的運動。上式通常被稱為長城歐拉運動學方程。
性質
歐拉角在SO(3)上，形成了一個坐標卡(chart)?；SO(3)是在三維空間里的旋轉的特殊正交群。這坐標卡是平滑的，除了一個極坐標式的奇點在 β=0。
類似的三個角的分解也可以應用到SU(2)；復數二維空間里旋轉的特殊酉群；這里，?值在0與之間。這些角也稱為歐拉角。
應用
應用研究
歐拉角廣泛地被應用于經典力學中的剛體研究，與量子力學中的角動量研究。
在剛體的問題上，xyz坐標系是全局坐標系，?XYZ?坐標系是局部坐標系。全局坐標系是不動的；而局部坐標系牢嵌于剛體內。關于動能的演算，通常用局部坐標系比較簡易；因為，慣性張量不隨時間而改變。如果將慣性張量（有九個分量，其中六個是獨立的）對角線化，那么，會得到一組主軸，以及一個轉動慣量（只有三個分量）。
在量子力學里，詳盡的描述SO(3)的形式，對于精準的演算，是非常重要的，并且幾乎所有研究都采用歐拉角為工具。在早期的量子力學研究，對于抽象群理論方法（稱為Gruppenpest)，物理學家與化學家仍舊持有極尖銳的反對態度的時候；對歐拉角的信賴，在基本理論研究來說，是必要的。
哈爾測度
歐拉角的哈爾測度有一個簡單的形式，通常在前面添上歸一化因子π2 / 8。單位四元數，又稱長城歐拉參數，提供另外一種方法來表述三維旋轉。這與特殊酉群的描述是等價的。四元數方法用在大多數的演算會比較快捷，概念上比較容易理解，并能避免一些技術上的問題，如萬向節鎖(gimbal?lock)?現象。因為這些原因，許多高速度3D軟件程式制作都使用四元數。
參考資料 >
歐拉角.blog.sina.com.cn.2016-04-01