正交群是數學中的一個重要概念，它在幾何學、群論和物理學等領域中都有廣泛的應用。正交群可以定義在不同的數域上，包括實數域、復數域和有限域。在實數域上，正交群和特殊正交群是李群，具有重要的拓撲和代數性質。正交群的研究不僅涉及到幾何變換的性質，還與線性代數、代數拓撲和數學物理等多個數學分支緊密相關。
定義與性質
正交群又稱正交變換群，是歐氏平面內所有正交變換的集合構成的群。在數學上，數域F上的n階正交群，記作O(n,F)，是F上的n×n正交矩陣在矩陣乘法下構成的群。它是一般線性群GL(n,F)的子群，由所有滿足$Q^TQ = QQ^T = I$的矩陣Q構成，其中$Q^T$是Q的轉置，I是單位矩陣。實數域上的經典正交群通常記為O(n)。
正交群具有以下性質：
1. 恒等變換是正交變換。
2. 正交變換的逆變換是正交變換。
3. 兩個正交變換的乘積仍然是正交變換。
特殊正交群
特殊正交群SO(n,F)是正交群O(n,F)的正規子群，由所有行列式為1的正交矩陣組成。在特征不為2的數域上，特殊正交群在正交群中的指數是2，即正交群的每個元素要么屬于特殊正交群，要么通過乘以-1變為特殊正交群的元素。
歐氏幾何與正交群
歐氏幾何是研究等價類里一切圖形所共有的性質的幾何分支，圖形關于正交變換群下的不變性質所構成的命題系統就是歐氏幾何學。正交群在歐氏幾何中的作用體現在它能夠將平面上所有的圖形分類，凡合同的圖形屬于同一等價類。
實數域上的正交群
實數域R上的正交群O(n,R)和特殊正交群SO(n,R)是n(n-1)/2維的實緊李群。O(n,R)有兩個連通分支，SO(n,R)是包含單位矩陣的連通分支。O(n,R)是歐幾里得群E(n)的子群，由其中保持原點不動的等距組成。SO(n,R)是E+(n)的子群，由其中保持原點不動的等距組成。
保持原點的3維同構
保持R^3原點不動的同構，組成群O(3,R)，能分成旋轉和反射等類別。群SO(3,R)，視為3維空間的旋轉，是科學和工程中最重要的群。
共形群
正交變換也是共形變換，即保持角度不變的變換。R^n的線性共形映射構成的群記作CO(n)，由正交群和收縮的乘積給出。
復數域上正交群
復數域C上，O(n,C)和SO(n,C)是C上n(n-1)/2維的李群，實維數是n(n-1)。O(n,C)有兩個連通分支，SO(n,C)是包含恒同矩陣的分支。
有限群上的正交群
正交群也能定義在有限域F_q上，其中q是質數p的冪。在這樣的域上定義正交群，偶數維時有兩類：O^+(2n,q)和O^-(2n,q)；奇數維有一類：O(2n+1,q)。
旋量模
旋量模是一個從域F上正交群到域F的乘法群模去平方元素F*/F*^2的同態，對實數域上的正交群是平凡的。
伽羅瓦上同調和正交群
代數群的伽羅瓦上同調理論提供了對正交群更深入的理解，特別是與二次型理論的聯系。
重要子群
在物理學中，特別是在Kaluza-Klein緊化領域，找出正交群的子群非常重要。例如，O(n)包含O(n-1)，O(2n)包含SU(n)和USp(n)，O(7)包含G_2等。
正交群O(n)也是一些李群的重要子群，如SU(n)、USp(2n)、G_2、F_4、E_6、E_7和E_8。群O(10)在弦律中非常重要，因為它是10維時空的對稱群。
參考資料 >