有限域（英文：Finite Field）亦稱埃瓦里斯特·伽羅瓦域，其定義為：如果域F僅含有限個元素，則稱為有限域，一般記為GF(pn)或Fq(q=pn)，它的元素個數是素數p的方冪pn，其中p為其特征，n是它在素域上的次數。
域的概念與數系理論的發展密切相關，最初它是一個進行傳統四則運算的簡單集合，源于代數方程的求根問題。1771年，法國數學家約瑟夫·拉格朗日（J.L.Lagrange）在討論三、四次代數方程的各種已知的代數解法過程中，其所謂的“方程系數的有理函數”的集合等價于方程的系數域。至18世紀末，數學家萊昂哈德·歐拉（L.Euler）、高斯（C.F.Gauss）等人，在研究數論等問題過程中所討論的模素數的剩余類，本質上是一種簡單的有限域，但是當時并沒有認識到域的抽象概念。19世紀30年代，法國數學家埃瓦里斯特·伽羅瓦（Evariste Galois）第一個給出了域的具體概念，在論文《論數論》中，他使用了域擴張方法構作出全部可能的有限域（伽羅瓦域）。1901年，迪克森（L.E.Dickson）在《線性群及對Galois域的解釋》一書中系統總結了前人的工作，把有限域表述成了現代的形式。1931年，范·德·瓦爾登（B.L.Van der Waerden）出版了《近世代數學》一書，使代數學成為了研究抽象代數結構的一門結構數學，書中對于有限域的理論的研究也基本成熟。
有限域具有一些基本性質，如有限域的乘法群是循環群。它的構造方法可分為抽象構造和具體構造，其中，多項式分裂域是一個唯一的個元素的有限域。此外，在現實世界中，有限域具有廣泛的應用價值，如計算機科學中，多維信號有限域上的信道編碼，可根據相關性來檢測（發現）和糾正傳輸過程中產生的差錯。
定義
域
設是一個有單位元的交換環。如果對中任意非零元，關于乘法有逆元，即存在使，則稱為一個域。
有限域
如果域僅含有限個元素，則稱為有限域，一般記為。它的元素個數是素數的方冪，其中為其特征，是它在素域上的次數。
簡史
早期研究
在人類文化發展的最初階段，為了計量物體的個數，人們常用手指或其他事物與被計量的物體進行逐一比較，產生了正整數的概念，正整數系是人類建立的第一個數系。經過長久地發展，零、負數、有理數、無理數、復數等概念被引入，人們對數系的認識逐漸成熟。
最初的域是可以進行簡單四則運算的集合，源于代數方程的求根問題。1771年，法國數學家約瑟夫·拉格朗日（J.L.Lagrange）在討論三、四次代數方程的各種已知的代數解法過程中，給出了通過原方程根的一個有理函數來求解代數方程根式的核心思想，其所謂的“方程系數的有理函數”的集合等價于方程的系數域。至18世紀末，數學家皮耶·德·費瑪（P.de Fermat）、萊昂哈德·歐拉（L.Euler）、高斯（C.F.Gauss）等人在研究數論等問題過程中討論了一種簡單的有限域，即模素數的剩余類的一些性質，實質上已經研究了有限域的性質，但是當時并沒有認識到域的抽象概念。
后續發展
19世紀30年代，人們已研究了有理數域、實數域、復數域等抽象概念，法國數學家埃瓦里斯特·伽羅瓦（Evariste Galois）第一個給出了域的具體概念，并在1830年發表的論文《論數論》中，使用域擴張方法構作出全部可能的有限域。但伽羅瓦認為，域的概念在直覺上是清楚的，沒有給出域的具體定義。直到1901年，迪克森（L.E.Dickson）在《線性群及對Galois域的解釋》一書中系統總結了前人的工作，把有限域表述成了現代的形式。1905年，數學家韋德伯恩（J.H.M.Wedderburn）給出了有限域論中的韋德伯恩定理，揭示了任何有限域都是交換的。1931年，范·德·瓦爾登（B.L.Van der Waerden）出版了《近世代數學》一書，使代數學成為了研究抽象代數結構的一門結構數學，書中對于有限域的理論的研究也基本成熟。
20世紀30年代以來，人們對有限域的研究有了更多的進展。1935年，法國數學家謝瓦萊（C.Chevalley）證明了埃米爾·阿廷（E.Artin,）有關有限域的一個猜想，即謝瓦萊定理：有限域是擬代數閉域。1978年，學者皮埃爾·德利涅（P.Deligne）由于證明了有限域上的廣義黎曼猜想，而獲得了菲爾茲獎。1985年，美國數學家柯布利茲（NealI Koblitz）和米勒（Victor Saul Miller）各自獨立地提出了一個利用有限域上橢圓曲線解的尼爾斯·亨利克·阿貝爾（Abel）群結構性質的公鑰密碼系統，這就是橢圓曲線加密法。
舉例
例1 是存在的最小的有限域，對于加法來說，構成一個交換群，單位元是，的逆元是，的逆元是。對于乘法來說，構成一個交換群，單位元是，的逆元是。
例2 當是素數時，整數集合對于模加法運算和模乘法運算構成一個有限域，記為。換言之，當不是素數時，只能組成一個環，而不是域。
性質
（1）一個有限域有個元素，這里是的特征而是在它的素域上的次數。
（2）一個有限域是它的素域的一個單擴域。
（3）有限域的乘法群是循環群。
（4）設是一個特征為（是素數）的有限域，則的元素個數為，它的加法群是個階循環群的直和。
（5）韋德伯恩定理：任何有限域都是交換的。
（6）有限域的擴張是一個可分擴張，且是簡單的。
（7）有限域是一個完全域。
（8）謝瓦萊定理：有限域是擬代數閉域。
相關概念
子域
定義：若域的一個子集合為，對于的加法與乘法也構成域，則稱為的子域，而稱為的擴域。
中至少含一個非零元的子集是子域的充分必要條件為：對任意恒有和屬于。
域的特征：設是域，如果的單位元的加法階是無限階，則稱域的特征為；如果的加法階是素數，則稱的特征為（當的加法階是有限階時，的階一定是素數）。在特征為的域中，對于任意都有。
有限域的子域：設是階有限域，則對的每個正因子，存在且只存在一個階子域。
素域
定義：不含任何真子域的域稱為素域。任何一個域都有單位元，考慮加法群，它有如下兩種可能：
（1）對任意非零整數，若，則是的子域且同構于有理數域，此時稱的特征（數）為零；
（2）存在正整數，若是使的最小正整數，則必為素數，稱為的特征（數）。若，則是的子域且與整數環模的域同構。當時，稱是素域，因此任意域都含有一個素子域，它或者與有理數域同構，或者與同構。
與有限域的關系：特征是的素域就是一個有限域。
構造方法
抽象構造
多項式分裂域：該域是與多項式相關的一種域，指域上一個多項式分解為一次因式之積的最小擴域。其定義為：對每個素數和任一正整數，存在一個唯一的個元素的有限域，它就是在上的分裂域。除此之外，無其他個元素的有限域。由于特征為的素域都同構，多項式在同構的域上的分裂域也同構，從而任何階有限域都同構。
具體構造
元素個數為素數
方法：設有限域的元素個數為某一素數，記為。一般地，當為質數時，的運算，就是運算。即可按一般的實數進行運算，運算結果被除，所得的余數為幾，其結果就是幾。
舉例：構造
以為模數，按照同余的觀點，所有整數可分為兩類：
（1）類，所有能被整除的整數：類，；
（2）類，所有能被除余的整數：類，。
于是，把作為元素所組成的集合就構成了一個。記，于是在對于模同余的意義下進行四則運算，其結果如下：
加法：；
減法：；
乘法：；
除法：。
元素個數為素數冪
方法：設為質數，為正整數，元素個數為的有限域，記作。構造是比較復雜的。它是通過對進行擴展而實現的。是的次擴展域，是由再加上的次不可約多項式的根構成的。
舉例：構造
就是，它是的二次擴展域。的二次不可約多項式為，原根為，階是。在對于模和同余的意義下，的四個元素為：
，，，。
關于的運算結果如下：
相關理論
弗羅貝尼烏斯自同構
定義：有限域有一個很重要的自同構即弗羅貝尼烏斯自同構。利用特征的域的一條性質，作一個到自身的映射。滿足：
；
。
因而是一個自同態。其次，是單的。這是因為，所以，即單。因有限，單射必然是滿的。所以是的一個自同構，它叫做的弗羅貝尼烏斯自同構。由弗羅貝尼烏斯映射是滿射可知，每一個有限域均為完美的。
離散對數
定義：設是有限域，有奇素數，設為生成元，又設是的非零元，定義為“的以為底的離散對數”，它是中唯一滿足的一個整數。
定理：設與分別是的非零元與生成元，把看成的元素集合，且假定是奇數，則有同余關系
。
在密碼學中，有限域上的離散對數問題可用于設計公鑰密碼體制。
原根
定義：域中非元素所構成的乘法群之階定義為域中該元素的級。若為域中的級元素，則稱為次單位原根。若在中，某一元素的級為，則稱為本原域元素。
定理：（1）在中，每一個非元素均滿足，即都是方程的根。反之，的根必在中。
（2）中必有本原域元素存在。
推論：由中級元素生成的循環群，一定是方程的根。
計算
不可約多項式的個數
多項式的特殊性質：（1）設是中次不可約多項式，，為的一個根，則
（2）設是的某個有限擴域中的元素。若是使成立的最小正整數，則
就是在中的極小多項式。
莫比烏斯函數反演公式：設和均是數論函數（即自變量取正整數），如果對每個正整數均有
，
則對每個正整數均有
。
其中，求和均是過的所有正因子。
定理：有限域上最高系數為的次不可約多項式的個數為
，
其中為素數的正整數冪。
多項式因式分解
分圓多項式定義：中彼此不同的級元素為全部根的首一多項式，稱為級分圓多項式，記為。
定理：級分圓多項式的次數為。
舉例 分解上的多項式。
解：共有個根，由定理（1）知，上的所有個非元素都是它的根。的因子有，故在中的非元素的級分別為級。那么可寫成如下形式
其中
是以級元素為根；
是以級元素為根；
是以級元素為根；
是以級元素為根；
所以
故
再引入莫比烏斯反演公式，即可得到上的表示式，則
。
應用
工程學
混凝土結構受外部環境氯離子侵蝕作用的影響會經常出現鋼筋銹蝕和混凝土剝落等耐久性退化問題，早期的混凝土中氯離子的濃度分布的分析方法容易忽視氯離子擴散系數和混凝土表面氯離子濃度的時變性，且所建立的分析模型與實際工程不符。在此基礎上，基于有限域的氯離子雙時變擴散解析模型，可通過建立氯離子雙時擴散控制方程，推導出氯離子擴散場補償長度的計算公式。該模型還可以合理描述混凝土中氯離子的濃度分布，具有良好的計算精度和適用性。
密碼學
有限域上的不可約多項式與本原多項式在密碼，編碼理論及隨機數的產生等方面有著廣泛的應用。由于在擴頻通信與序列密碼中被廣泛應用的偽隨機序列，可在連續波雷達中用作測距信號、在遙控系統中用作遙控信號、在多址通信中用作地址信號、在數字通信中用作群同步信號等。偽隨機序列大部分是利用有限域上的不可約多項式和本原多項式通過反饋移位寄存器和其它非線性邏輯產生的。
計算機科學
在數字通信系統中，信息的傳輸（或存儲）傳輸過程中的可靠性是避免出現差錯的重要問題，信道編碼的可根據相關性來檢測（發現）和糾正傳輸過程中產生的差錯。為實現面向多維信號有限域上的編碼，可應用素元生成的素理想，考慮分圓域的代數整數環是主理想，當錯誤值取自有限域乘群的一個循環子群時，所構造的分圓域中的線性分組碼可以糾單個錯，為碼調制提供了一種代數漸進方法。
參考資料 >