在數(shù)論中，分圓域是在有理數(shù)域Q中添加復(fù)數(shù)單位根進(jìn)行擴(kuò)張而得到的數(shù)域。
介紹
將n次單位根加入而得到的分圓域稱為n次分圓域，記作。
由于與費(fèi)馬大定理的聯(lián)系，分圓域在現(xiàn)代代數(shù)和數(shù)論的研究中扮演著重要的角色。正是因?yàn)?a href="/hebeideji/7018545729460376296.html">庫默爾對這些數(shù)域上（特別是當(dāng) p為素?cái)?shù)時(shí)）的算術(shù)的深入研究，特別是在相應(yīng)整環(huán)上唯一分解定理的失效，使得庫默爾引入了理想數(shù)的概念，并證明了著名的庫默爾同余。
性質(zhì)
n次分圓域是多項(xiàng)式 的分裂域，因此是有理數(shù)域的伽羅瓦擴(kuò)域。這個(gè)擴(kuò)張的 次數(shù)：等于，其中是歐拉函數(shù)。的所有伽羅瓦共軛是，其中 a 遍歷模 n的簡化剩余系（所有與 n 互質(zhì)的剩余類）。同樣地，n次分圓域的伽羅瓦群同構(gòu)于模 n 的乘法群，其元素為
與正多邊形的聯(lián)系
高斯最早在研究尺規(guī)作正多邊形問題時(shí)涉及到了分圓域的理論。這個(gè)幾何問題實(shí)際上可以被轉(zhuǎn)化為伽羅瓦理論下的敘述：對什么樣的 n， n次分圓域可以通過若干次的二次擴(kuò)張得到，高斯發(fā)現(xiàn)正十七邊形是可以用尺規(guī)作出的。更一般地說，對于一個(gè)素?cái)?shù) p，正 p邊形可以用尺規(guī)作出當(dāng)且僅當(dāng) p為皮耶·德·費(fèi)瑪素?cái)?shù)。
與費(fèi)馬最后定理的聯(lián)系
研究費(fèi)馬最后定理時(shí)，一個(gè)很自然的思路是將 分解為 的形式，其中的 n是一個(gè)奇素?cái)?shù)。這樣得到的一次因式都是 n次分圓域中的代數(shù)整數(shù)。如果在 n次分圓域中算術(shù)基本定理成立，代數(shù)整數(shù)的素?cái)?shù)分解是唯一的，那么可以通過它來確定方程是否有非平凡解。
然而，對于一般的 n，這個(gè)結(jié)論是錯(cuò)誤的。但是，庫默爾找到了一個(gè)繞過這個(gè)困難的辦法。他引進(jìn)了“理想數(shù)”的概念，作為對素?cái)?shù)概念的改良。他將代數(shù)整數(shù)的素?cái)?shù)分解不唯一的概念量化為類數(shù)： h，并證明了如果 h不能被 p整除（這樣的 p被稱為正規(guī)素?cái)?shù)），那么皮耶·德·費(fèi)瑪的猜想對于 是成立的。此外，他給出了庫默爾準(zhǔn)則來判斷素?cái)?shù)是否是正規(guī)的。運(yùn)用這個(gè)準(zhǔn)則，庫默爾檢驗(yàn)了100以下的素?cái)?shù)，除了三個(gè)“不正規(guī)”的：37、59和67。
巖澤理論
巖澤健吉在二十世紀(jì)后對庫默爾關(guān)于分圓域的類數(shù)的同余理論進(jìn)行了推廣，形成了巖澤理論。這一理論在數(shù)論中的重要性不亞于庫默爾的工作，為理解數(shù)域的算術(shù)性質(zhì)提供了新的視角和工具。
參考資料 >