算術基本定理，又稱為正整數的唯一分解定理，即:每個大于1的自然數均可寫為質數的積，而且這些素因子按大小排列之后，寫法僅有一種方式。
定理內容
任何一個大于1的自然數N，都可以唯一分解成有限個質數的乘積 N=(P_1^a1)*(P_2^a2)......(P_n^an) , 這里P_1 <... 質數，其諸方冪 ai 是正整數。
這樣的分解稱為N 的標準分解式。
定理證明
算術基本定理的最早證明是由歐幾里得給出的。
大于1的自然數必可寫成素數之積
用反證法：假設存在大于1的自然數不能寫成質數的乘積，把最小的那個稱為n。
自然數可以根據其 可除性（是否能表示成兩個不是自身的自然數的乘積）分成3類：質數、合數和1。首先，按照定義， n 大于1。其次， n 不是質數，因為質數p可以寫成質數乘積：p=p，這與假設不相符合。因此n只能是合數，但每個合數都可以分解成兩個嚴格小于自身而大于1的自然數的積。設其中 a 和 b 都是介于1和 n 之間的自然數，因此，按照 n 的定義， a 和 b 都都可以寫成質數的乘積。從而
也可以寫成質數的乘積。由此產生矛盾。因此大于1的自然數必可寫成質數的乘積。
唯一性
引理：若質數 p | ab，則 p | a∨p | b正確（兩者至少有一為真命題）。
引理的證明：若 p | a 則證明完畢。若，那么兩者的最大公約數為1。根據裴蜀定理，存在( m, n) 使得 ma + np = 1。于是 b = b( ma + np) = abm + bnp。由于 p | ab，上式右邊兩項都可以被 p整除。所以 p | b。
再用反證法：假設有些大于1的自然數可以以多于一種的方式寫成多個質數的乘積，那么假設 n 是最小的一個。
首先 n 不是質數。將 n 用兩種方法寫出：
根據引理，質數
所以中有一個能被 p1整除，不妨設為 q1。但 q1也是質數，因此 q1 = p1 。所以，比n小的正整數也可以寫成這與 n 的最小性矛盾！
因此唯一性得證。
定理應用
（1）一個大于1的正整數N，如果它的標準分解式為： N=(P_1^a1)*(P_2^a2)......(P_n^an)
那么它的正 因數個數為（1+a1)(1+a2).....(1+an)。
（2）它的全體正因數之和為d(N)=(1+p_1+...p_1^an)(1+p_2+...p_2^a2)...(1+p_n+...+p_n^an)
當d(N)=2n時就稱N為 完全數。是否存在奇完全數，是一個至今未解決之猜想。
（3）利用算術基本定理可以重新定義整數a和b的 最大公約數（a,b）和 最小公倍數[a,b], 并證明ab=(a,b)[a,b].
（5）證明素數個數無限。
定理推廣
此定理可推廣至更一般的交換代數和代數數論。高斯證明復整數環Z[i]也有唯一分解定理。它也誘導了諸如唯一分解 整環，歐幾里得整環等等概念。更一般的還有 戴德金 理想分解定理。
參考資料 >