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v(b)。 ，v(x) 時并非歐幾里得整環，卻仍是主理想環。
正文
在抽象代數中，歐幾里得整環（Euclidean domain）是一種能作輾轉相除法的整環。凡歐幾里得整環必為主理想環。
定義
一個歐幾里得整環是一整環 D 及函數，使之滿足下述性質：
若 而，則存在 使得 ，而且或者，或者。若 a 整除 b，則。函數 v 可設想成元素大小的量度，當 時可取 。
例子
歐幾理得整環的例子包括了：
整數環，。高斯整數環。域上的多項式環與冪級數環（v(f) 定義為使 的最大非負整數 n）。離散賦值環，v(x) 定義為使 的最大非負整數 n，其中 表該離散賦值環的唯一極大理想。利用輾轉相除法（定義中的第一條性質），可以證明歐幾里得環必為主理想環，此時理想由其中 v-值最小的元素生成。由此得到一個推論：歐幾里得整環必為唯一分解環。
并非所有主理想環都是歐幾里得整環，Motzkin 證明了 的整數環在 時并非歐幾里得整環，卻仍是主理想環。這方面的進一步結果詳見以下文獻。
參考資料 >