因數(shù)（factor）定義為整數(shù)a除以整數(shù)b（b≠0）的商正好是整數(shù)而沒有余數(shù)，就說b是a的因數(shù)。例如，6÷2=3，就說2是6的因數(shù)，同時6是2的倍數(shù)；-6÷-2=3，也可以說-2是-6的因數(shù)，同時-6是-2的倍數(shù)。
因數(shù)是代數(shù)基本概念之一，倍數(shù)是與它相對的概念，它們的發(fā)展歷史可追溯到古代文明時期。希臘與中國等國家或地區(qū)都有各自對最小公倍數(shù)的認識。古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在《幾何原本》中提出了關(guān)于因數(shù)的概念。在中國北魏時期數(shù)學(xué)家張邱健著作《算經(jīng)》一書中，有個世界有名的不定方程問題“百雞術(shù)”，其中就闡述了最小公倍數(shù)與最大公因數(shù)的關(guān)系。
與因數(shù)相關(guān)的定理包括帶余除法定理與輾轉(zhuǎn)相除法定理。相關(guān)的運算包括，求因數(shù)、求最大公因數(shù)、以及質(zhì)因數(shù)分解，對它們的求解可以應(yīng)用不同的方法。因數(shù)及其運算在工程、密碼學(xué)、工業(yè)領(lǐng)域中都具有廣泛的應(yīng)用價值。
定義
因數(shù)（factor）定義為整數(shù)a除以整數(shù)b（b≠0）的商正好是整數(shù)而沒有余數(shù)，就說b是a的因數(shù)。在小學(xué)數(shù)學(xué)中，兩個正整數(shù)相乘，那么這兩個數(shù)都叫做積的因數(shù)，或稱為約數(shù)。假如a*b=c（a、b、c都是整數(shù)），那么稱a和b就是c的因數(shù)。
相關(guān)概念
合數(shù)
大于1的整數(shù)中，除了能被1和本身整除外，還能被其他的數(shù)整除的數(shù)，或者說，如果除了1和它本身還有別的因數(shù)，這樣的數(shù)叫作合數(shù)。例如4，6，8，等等都是合數(shù)。
公因數(shù)
若正整數(shù)c能整除正整數(shù)a及b，就稱c是a和b的一個公因數(shù)。24能被3整除，3就是24的一個因數(shù)，同時，3也是36的一個因數(shù)，則3就是24和36公共的因數(shù)，簡稱公因數(shù)。
最大公因數(shù)
最大公約數(shù)也稱為“最大公因數(shù)”，是指兩個或多個整數(shù)共有約數(shù)中最大的一個。最大公因數(shù)是所有公因數(shù)中最大的那一個。例如1、2、3、4、6、12都是24和36的公因數(shù)，最大公因數(shù)是12。
質(zhì)因數(shù)
每個合數(shù)都可以寫成幾個質(zhì)數(shù)相乘的形式，這幾個質(zhì)數(shù)叫作這個合數(shù)的質(zhì)因數(shù)。幾個數(shù)相乘，這幾個數(shù)就叫做積的因數(shù)。例如，，3和4是12的因數(shù)。，2，5和7是70的因數(shù)。如果因數(shù)是質(zhì)數(shù)，就叫做質(zhì)因數(shù)，在上面的兩個例子里邊，3是12的質(zhì)因數(shù)，4不是12的質(zhì)因數(shù);因為4不是質(zhì)數(shù);2，5和7都是70的質(zhì)因數(shù)。
簡史
代數(shù)起源
在希臘數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)上，阿拉伯人有了自己的數(shù)學(xué)。至于阿拉伯?dāng)?shù)字的起源問題人們還不甚清楚。狄奧多里希大帝統(tǒng)治時期，波伊提烏曾使用一些符號，這與與現(xiàn)在人們使用的9個數(shù)字非常接近。熱爾貝有個學(xué)生也曾使用一些符號，與現(xiàn)在更為接近。但有一種說法，認為在9世紀前，“0”還沒有出現(xiàn)，它的出現(xiàn)要歸功于穆斯林數(shù)學(xué)家穆罕默德·伊本·穆薩的發(fā)明，他也是第一個使用十進位的人，數(shù)字位置的值也是由他確定的。但對這種說法很多印度人表示懷疑，他們認為0和十進制是印度人發(fā)明的。阿拉伯人在幾何學(xué)上沒有大的建樹，但他們卻創(chuàng)造了代數(shù)，還有就是發(fā)展了球面三角學(xué)，正弦、正切和余切諸線也是阿拉伯人的創(chuàng)造。早在古代與中國等國家或地區(qū)都有各自對最小公倍數(shù)的認識。
因數(shù)的起源
因數(shù)和阿拉伯?dāng)?shù)字的具體起源一樣都無法考證，但在《》中提出了因數(shù)的概念。并且后來還發(fā)明了一種計算最大公因數(shù)的算法，學(xué)術(shù)界稱“歐幾里得算法”又稱輾轉(zhuǎn)相除法。在中國時期數(shù)學(xué)家張邱健著作《算經(jīng)》一書中，有個世界有名的不定方程問題“”，其中就闡述了最小公倍數(shù)與最大公因數(shù)的關(guān)系。
相關(guān)定理
求最大公因數(shù)定理
輾轉(zhuǎn)相除法定理：假設(shè)a和b都是正整數(shù)，且。
如果要求和的最大公因數(shù)，可先以除。由帶余除法定理，得
，
其中都是自然數(shù)，而。
如果，則有，所以和的最大公因數(shù)就是，
如果，則有再以除以，得
由 ，，得=。
如果，則和的最大公因數(shù)就是，所以
==。如果，有，我們再以除，由帶余除法定理，得
如果，則，∴== =，如果，再以除，
這樣繼續(xù)輾轉(zhuǎn)相除。由于 和所有 )都是非負整數(shù)，
所以一定存在有一個正整數(shù)，使得經(jīng)過次輾轉(zhuǎn)相除后有，但，
這時就是，的最大公因數(shù) ，即（a，b）=。
帶余除法定理： 設(shè) 且，則有唯一的q，使得
。
證明：由于，集合
中含有自然數(shù)。依最小數(shù)定理，有最小元。設(shè)為中最小的自然數(shù)，這里。假如，則是中比更小的自然數(shù)，這與的選取矛盾。
因此。
假設(shè)整數(shù)，也使得，則。而不超過與中的較大者，從而小于，于是必定且，證畢。
計算
求因數(shù)的方法
求因數(shù)的方法根據(jù)定義:依次列出積為這個數(shù)的乘法算式，每一個乘法算式可以找出這個數(shù)的一對因數(shù)。
例如，，所以1，2，3，4，6，12 是12的正因數(shù)。
根據(jù)除法算式:把這個數(shù)固定為被除數(shù)，只要改變除數(shù)，按照順序，依次用1，2，等除這個數(shù)，若所得商是整數(shù)，則除數(shù)和商都是被除數(shù)的因數(shù)。
例如，，所以 1，2，4，8是8的因數(shù)。
求最大公因數(shù)
歐幾里得算法
早在公元前50年左右，中國第一部數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的第一章(方田章)的約分術(shù)中就已指出:“置分母、子之?dāng)?shù)，以多減少，更相減損，以求其等也，以等數(shù)約之。輾轉(zhuǎn)相除法又名“歐幾里得算法”是一種計算兩數(shù)最大公因數(shù)（最大公約數(shù)）的遞歸算法，應(yīng)用了上面介紹的輾轉(zhuǎn)相除法定理。它的具體做法是:用較大數(shù)除以較小數(shù)，再用出現(xiàn)的余數(shù)(第一余數(shù))去除除數(shù)，再用出現(xiàn)的余數(shù)(第二余數(shù))去除第一余數(shù)，如此反復(fù)，直到最后余數(shù)是0為止。如果是求兩個數(shù)的最大公約數(shù)，那么最后的除數(shù)就是這兩個數(shù)的最大公約數(shù)。
例如，求1218和546的最大公因數(shù)，用輾轉(zhuǎn)相除法計算格式如下：
即先用較小的一個數(shù)546作為除數(shù)，去除1218，得余數(shù)126;然后以126為除數(shù)，去除上一次的除數(shù)546，得余數(shù)42;再以42 為除數(shù)，去除上一次的除數(shù)126，此時剛好除盡，那么這最后一個除數(shù) 42(也就是最后一個不為零的余數(shù))便是1218和546的最大公因數(shù)。
歐拉算法
雖然可以用輾轉(zhuǎn)相除法可以把兩個數(shù)的最大公因數(shù)表示為這兩個數(shù)的倍數(shù)和，但是這一過程煩瑣而且容易出錯，歐拉給出了下面的方法，稱之為歐拉算法。
例如，把表示成5767與4453的倍數(shù)和。
解：逆轉(zhuǎn)輾轉(zhuǎn)相除法的求解過程，可得
。
長城歐拉算法，其步驟如下:
(1)最后一個商=3不要，將其余的商按相反次序排成一行:
，，，，，
寫在橫線上方。
(2)在橫線下方，對齊橫線上方左數(shù)第一個商寫 ，在 的左邊寫數(shù)1。
(3)用橫線上方左數(shù)第二個商按箭頭所示方向乘，再加左側(cè)箭頭所指向的數(shù)值1，把所得結(jié)果對齊寫在橫線下方。以下各步仿照上一步進行，直到算寫完畢為止。
(4)在橫線下方最后寫出的兩個數(shù)，就是“把表示成表示成5767與4453的倍數(shù)和”時，5767，4453的倍數(shù)的絕對值(大小交叉配值)，倍數(shù)的符號分別為 ，，其指數(shù)分別為輾轉(zhuǎn)相除的次數(shù)減2、減1(指數(shù)相差1，配小值者指數(shù)低)。
根據(jù)算法圖解1和2可得：
質(zhì)因數(shù)分解
質(zhì)因數(shù)分解遵循算術(shù)基本定理，對于任何一個大于1的自然數(shù)，可以把它唯一地分解成若干個質(zhì)因數(shù)的連乘積，稱表示這一分解的算式為該自然數(shù)的質(zhì)因數(shù)分解式。如果將其中的質(zhì)因數(shù)由小到大嚴格地由左到右排列，并把相同的質(zhì)因數(shù)表示成冪指數(shù)的形式，這樣得到的質(zhì)因數(shù)的連乘積稱為自然數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)分解式。
例如，
每個合數(shù)都可以寫成幾個質(zhì)數(shù)相乘的形式，其中每個質(zhì)數(shù)都是這個合數(shù)的因數(shù)，這個過程叫作這個合數(shù)的“分解質(zhì)因數(shù)”。分解質(zhì)因數(shù)只針對合數(shù)。
例如，
。
使用短除法分解質(zhì)因數(shù)
把一個合數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，先用一個能整除這個合數(shù)的質(zhì)數(shù)(通常從最小的質(zhì)數(shù)2開始)去除，得出的商如果是質(zhì)數(shù)，就把除數(shù)和商寫成相乘的形式;得出的商如果是合數(shù)，就照下面的方法繼續(xù)除下去，直到得出的商是質(zhì)數(shù)為止，然后把各個除數(shù)和最后的商寫成連乘的形式。
例如，對于360，我們就可以質(zhì)因數(shù)分解成，如圖1所示。
樹枝分解法
先把一個數(shù)寫成兩個因數(shù)相乘的形式，如果兩個因數(shù)都是質(zhì)數(shù)就不用再分解了;如果兩個因數(shù)中還有合數(shù)，那就要繼續(xù)分解，一直分解到全部因數(shù)都是質(zhì)數(shù)為止。
把60分解質(zhì)因數(shù)是:
例如，把60分解質(zhì)因數(shù)。如圖2
第一步:把60寫成兩個因數(shù)相乘的形式。
第二步:6和10都不是質(zhì)數(shù)，是合數(shù)，所以繼續(xù)分解成兩個因數(shù)相乘的形式。
第三步:全部因都是質(zhì)數(shù)，結(jié)束。
相關(guān)理論
倍數(shù)
如果(是不為0的自然數(shù))，那么是的因數(shù)，是的倍數(shù)。例如，，4和9是36的因數(shù)，36是4和9的倍數(shù)。因數(shù)與倍數(shù)是相互依存的，不能單獨說某數(shù)是因數(shù)，或某數(shù)是倍數(shù)。例如，，不能單獨說4是因數(shù)，應(yīng)該說4是36的因數(shù)。
求倍數(shù)的方法
根據(jù)一個數(shù)的倍數(shù)的定義，這個數(shù)和任意非零自然數(shù)之積都是這個數(shù)的倍數(shù)。例如，，，，，所以，7，14，21，28，是7的倍數(shù)。
幾個數(shù)公用的倍數(shù)，叫作這個數(shù)的公倍數(shù)。其中最小的一個，叫作這幾個數(shù)的最小公倍數(shù)。
求最小公倍數(shù)的方法
用短除法:把幾個數(shù)公有的因數(shù)從小到大排列后，依次作為除數(shù)，用短除法連續(xù)去除這幾個數(shù)。在連除時，如果某一個數(shù)不能被除數(shù)整除，就把這個數(shù)寫在下邊。直到得出的商兩兩互質(zhì)為止，然后把所有的除數(shù)和商乘起來，所得的積就是這幾個數(shù)的最小公倍數(shù)。
因式
因式：把相乘的兩個變量叫作因子，相乘的兩個算式就叫作因式。
因式分解：把一個多項式化成幾個整式的積的形式，像這樣的式子變形叫做把這個多項式因式分解，也叫做把這個多項式分解因式。因式分解的方法如下：
提公因式法
公因式:多項式的各項都有一個公共的因式m，把因式m叫做這個多項式各項的公因式。
公式法
平方差公式法:。即兩個數(shù)的平方差，等于這兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積。
應(yīng)用
摩阻因數(shù)在石油工程中的應(yīng)用
利用系統(tǒng)聚類分析，將整個井眼劃分為多個不同摩阻因數(shù)的井段，結(jié)合鉆柱摩阻扭矩模型，采用模擬退火算法反演計算各個井段摩阻因數(shù)的最優(yōu)值;基于分段摩阻因數(shù)，考慮鉆孔機承載能力、巖石破碎條件、摩阻力條件、鉆柱強度條件、鉆柱剛度條件，建立水平井延伸極限判斷準(zhǔn)則和預(yù)測模型。現(xiàn)場應(yīng)用結(jié)果表明：采用分段摩阻因數(shù)反演方法計算的大鉤載荷和井口扭矩的預(yù)測值與實測數(shù)據(jù)具有良好的相關(guān)關(guān)系，平均誤差絕對值分別為3.72%、3.45%，較傳統(tǒng)反演方法預(yù)測精度分別提高54.8%、51.8%。隨摩阻因數(shù)的增大，水平井延伸極限明顯降低。該結(jié)果可為水平井延伸極限預(yù)測提供參考。
質(zhì)因數(shù)在密碼學(xué)中的應(yīng)用
一般來說，公鑰密碼的安全性由相應(yīng)數(shù)學(xué)問題在計算機上的難解性來保證，以廣為使用的RSA算法為例，它的安全性建立在大整數(shù)質(zhì)因子分解在計算機上的困難性，因此如果能夠找到解決整數(shù)分解問題的快速方法，幾個重要的密碼系統(tǒng)將會被攻破，包括RSA加密算法，而整數(shù)分解目前沒有已知的多項式時間算法，雖然也還沒有人證明這種算法不存在。在數(shù)學(xué)中，把一個合數(shù)變成質(zhì)數(shù)乘積的過程被稱為質(zhì)因子分解。對于一臺計算機來說，把兩個很大的質(zhì)數(shù)相乘，即使每一個質(zhì)數(shù)長達100位，計算出結(jié)果也并不難。然而，把一個很大的數(shù)分解成質(zhì)數(shù)的乘積則是出了名的困難。例如，對于整數(shù)22，我們易于發(fā)現(xiàn)它可以分解為2和11兩個質(zhì)數(shù)相乘，但對于一個幾百上千位的整數(shù)，即使采用相應(yīng)算法，對于計算機來說，也要很長時間才能完成分解。
電力工業(yè)功率因數(shù)的定義及應(yīng)用
在電工原理中，對于線性電路，功率因數(shù)(功率 factor，PF)可以直接用正弦曲線電壓和正弦電流之間的相位差φ來計算和表示，定義為：
如果整流橋后面沒有并聯(lián)的濾波電容，而是直接與純阻性負載相連，則電壓和電流之間的相位差為0，功率因數(shù)是1。因此，功率因數(shù)校正技術(shù)的本質(zhì)，就是要使用電設(shè)備的輸入端對輸入電網(wǎng)呈現(xiàn)“純阻性”，也就是要使輸入電流和輸入電壓之間的相位相同。另一方面，從能量傳輸?shù)慕嵌葋碇v，功率因數(shù)校正技術(shù)就是要使用電設(shè)備的輸入端只從輸入電網(wǎng)中汲取能量，而不要將能量重新反饋回輸入電網(wǎng)。在整流電路中，盡管輸入電壓為正弦波，但是輸入電流卻為嚴重畸變的非正弦電流圖((b))所示，因此線性電路中的功率因數(shù)計算方法不再適用。假設(shè)輸入電壓波形為u?(t)，其周期為T，輸入電流波形為i(t)，則功率因數(shù)定義：
通過對功率因數(shù)的測定，電廠可以更好的解決電力電子裝置帶來的諧波污染和無功問題。
參考資料 >
術(shù)語在線.術(shù)語在線.2023-12-19