公倍數(shù)（common multiple），初等數(shù)論的基本概念之一，是兩個及兩個以上的非零整數(shù)的共同的倍數(shù)，其定義為：設(shè)a1,a2,...,an是n個不等于零的整數(shù)，如果a1|m,a2|m,a3|m,...,an|m，那么m叫做a1,a2,...,an的公倍數(shù)。
與公倍數(shù)相關(guān)的概念是公約數(shù)。在公倍數(shù)集合上取最小可衍生得到最小公倍數(shù)的概念。它具有一些基本性質(zhì)，如公倍數(shù)一定是最小公倍數(shù)的倍數(shù)。最小公倍數(shù)可通過分解質(zhì)因數(shù)等方法進(jìn)行求解。
公倍數(shù)在現(xiàn)實生活中具有廣泛的應(yīng)用價值，如在工程學(xué)中，公倍數(shù)規(guī)律可用來設(shè)計互聯(lián)互通的不同交路方案，保證行車間隔的均勻性。
定義
定義：一般地，設(shè)是個均不等于零的整數(shù)。如果，那么叫做的公倍數(shù)。此外，以記的所有公倍數(shù)組成的集合。當(dāng)時，就是的所有倍數(shù)組成的集合。
例如，，集合是和的公倍數(shù)集合。 比如說：12和15，它們的公倍數(shù)是60，120，180，等等。在這些公倍數(shù)中最小的那一個就叫最小公倍數(shù)，就是60。
相關(guān)概念
公因數(shù)
定義：如果是整數(shù)，且和都是正整數(shù)，若，那么叫做的公因數(shù)。
公因數(shù)中的最大的那一個數(shù)叫做的最大公因數(shù)，最大公因數(shù)是其他公因數(shù)的倍數(shù)。如果是的最大公因數(shù)，記為。
衍生概念
最小公倍數(shù)
定義
一般地，設(shè)整數(shù)均不等于零，把的正的公倍數(shù)中的最小的稱為的最小公倍數(shù)，記做。
性質(zhì)
1.如果是個不等于零的整數(shù)，則。
2.公倍數(shù)一定是最小公倍數(shù)的倍數(shù)。
3.的充要條件是。
推論：設(shè)是非零整數(shù)，是的一個公約數(shù)，且，則
（1）。
（2）。
該推論表明，在求最小公倍數(shù)時，可把任何正的公因數(shù)提出來。
4.兩個數(shù)的最小公倍數(shù)乘以它們的最大公因數(shù)就等于這兩個數(shù)的乘積的絕對值，即。
推論：若是正整數(shù)，則。
5.在一組正整數(shù)中，若最大的那個正整數(shù)恰是其余各數(shù)的倍數(shù)，則該數(shù)即為這組數(shù)的最小公倍數(shù)；
求解
方法1：如果想求幾個正整數(shù)的最小公倍數(shù)，可先將它們分別分解質(zhì)因數(shù)，并且寫成乘方形式，在它們的公有因數(shù)里取指數(shù)最大的冪，而不同的因數(shù)則都取來相乘。
例1 求45、30和15的最小公倍數(shù)。
解：對三個數(shù)分解質(zhì)因數(shù)可得45=32×5，30=2×3×5，15=3×5。在公有因數(shù)里取指數(shù)最大的冪（32、51），不同的因數(shù)取21，則有最小公倍數(shù)=21×32×51=90。
答：45、30和15的最小公倍數(shù)為90。
方法2：由最小公倍數(shù)與最大公因數(shù)的關(guān)系，即來求解。
例2 求和的最小公倍數(shù)。
解：先由輾轉(zhuǎn)相除法求出和的最大公因數(shù)，即
，
，
，
，
，
。
所以。
于是有。
答：和的最小公倍數(shù)為。
應(yīng)用
化學(xué)
在化學(xué)中，已知化合物中某元素的質(zhì)量求分子式的問題可應(yīng)用公倍數(shù)法進(jìn)行求解。例如，已知某金屬M(fèi)能形成兩種氧化物，取一定質(zhì)量的兩種氧化物分別與一氧化碳反應(yīng)，得到的金屬M(fèi)質(zhì)量一樣，且其中一種氧化物的分子式已知。若要求解另外一種氧化物的分子式，可先把所有分子式中M的右下標(biāo)放大為下標(biāo)數(shù)的公倍數(shù)，那么由反應(yīng)前后的質(zhì)量差與分子式中氧的含量關(guān)系，即可求得兩種氧化物的氧元素之比，從而求得另一種氧化物的可能分子式，最后與所有分子式進(jìn)行化簡對比，即可求得。
工程學(xué)
互聯(lián)互通是城市軌道交通的發(fā)展趨勢之一，在設(shè)備設(shè)施實現(xiàn)互聯(lián)互通的基礎(chǔ)上，可通過研究列車運(yùn)營組織的互聯(lián)互通，應(yīng)用互聯(lián)互通交路行車間隔為跨線前線路、跨線后線路行車間隔公倍數(shù)的整數(shù)倍的關(guān)系，即公倍數(shù)規(guī)律來設(shè)計互聯(lián)互通不同交路方案行車間隔關(guān)系，保證行車間隔的均勻性。
參考資料 >