合數是指除了1和其本身外還有其他正因數的大于1的正整數。等價地說，合數是指除了能被1和其本身整除外，還能被其他正整數整除。有許多的素性測試可以在不進行因數分解的情形下，判斷一數字是素數還是合數。與之相對的是素數（也稱質數）的概念，即只有1和其本身兩個正因數的大于1的正整數。依定義，每一個大于1的整數不是素數就是合數。而1則被認為既不是素數，也不是合數。4是最小的合數，9是最小的奇合數。
性質
類型
分類合數的一種方法為區分其素因數分解中素因數的個數（計重數）?？杀硎緸閮蓚€素數（允許相同）之積的合數稱為半素數，可表示為三個不同素數之積的合數則稱為楔形數。在一些的應用中，亦可以將合數分為有奇數的質因數的合數及有偶數的質因數的合數。對于后者，（其中μ為默比烏斯函數且''x''為質因數個數的一半），而前者則為
注意，對于質數，此函數會傳回 -1，且。而對于有一個或多個重復質因數的數字''n''，。
另一種分類合數的方法為計算其因數的個數。所有的合數都至少有三個正因數。一質數的平方數，其因數有。一數若有著比它小的整數都還多的因數，則稱此數為高合成數。另外，完全平方數的因數個數為奇數個，而其他的合數則皆為偶數個。
合數可分為奇合數和偶合數，也能基本合數（能被2或3整除的），分陰性合數（6N-1）和陽性合數（6N+1），還能分雙因子合數和多因子合數。
其他知識點
只有1和它本身兩個因數的自然數，叫質數（或稱素數）。（如：由2÷1=2，2÷2=1，可知2的因數只有1和它本身2這兩個因數，所以2就是質數。與之相對立的是合數：“除了1和它本身兩個因數外，還有其它因數的數，叫合數。”如：4÷1=4，4÷2=2，4÷4=1，很顯然，4的因數除了1和它本身4這兩個因數以外，還有因數2，所以4是合數。）
100以內的質數有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，一共有25個。
質數的個數是無窮的。歐幾里得的《幾何原本》中有一個經典的證明。它使用了證明常用的方法：反證法。具體證明如下：假設質數只有有限的n個，從小到大依次排列為p1，p2，……，pn，設N=p1×p2×……×pn，那么，N+1是素數或者不是素數。
因此無論該數是素數還是合數，都意味著在假設的有限個素數之外還存在著其他素數。所以原先的假設不成立。也就是說，素數有無窮多個。
其他數學家給出了一些不同的證明。萊昂哈德·歐拉利用黎曼函數證明了全部素數的倒數之和是發散的，恩斯特·庫默的證明更為簡潔，Hillel Furstenberg則用拓撲學加以證明。
每一合數都可以被唯一表示為素數的乘積。這是算術基本定理的內容。任何一個大于1的自然數N，都可以唯一分解成有限個質數的乘積，這里P1 這樣的分解稱為N的標準分解式。 算術基本定理的內容由兩部分構成：分解的存在性、分解的唯一性（即若不考慮排列的順序，正整數分解為素數乘積的方式是唯一的）。 算術基本定理是初等數論中一個基本的定理，也是許多其他定理的邏輯支撐點和出發點。 此定理可推廣至更一般的交換代數和代數數論。gaussian證明復整數環Z[i]也有唯一分解定理。它也誘導了諸如唯一分解整環，歐幾里得整環等等概念，更一般的還有戴德金理想分解定理。 合數可分成基本合數（能被2和3 整除的），陰性合數（加1能被6整除的）和陽性合數（減1能被6整除的）。 陰性數在以下式中可以確定是陰性上合數和陰性下合數還是陰性素數。 A陰一上有整數解， 則 6(3N-W)+1 是小因子數；6(3N+W)+1 是大因子數。 若不定方程（3N）^2-N-(B-1)/36=W^2 有整數解， 則 6(3N-W)-1 是小因子數；6(3N+W)-1 是大因子數。 兩式都無解，是素數。 A陰二上 有整數解的，這個陰性數是陰性上合數；并很快找到數因子， A陰二下 ,有整數解的，這個陰性數是陰性下合數，并能很快找到數因子； N自然數，b陰性數（加1能被6整除的），W為另一自然數。 兩式都沒有整數解的，這個陰性數是素數. 36-25形的陰性數在以下式中可以確定是陰性上合數和陰性下合數還是陰性素數。 A陰三上 有整數解的，這個陰性數是陰性上合數；并很快找到數因子， A 陰三下 ,有整數解的，這個陰性數是陰性下合數，并能很快找到數因子； N自然數，b陰性數（加1能被6整除的），W為另一自然數。 兩式都沒有整數解的，這個陰性數是素數.36-19形的陰性數在以下式中可以確定是陰性上合數和陰性下合數還是陰性素數。 A陰四上 有整數解的，這個陰性數是陰性上合數；并很快找到數因子， A陰四下 ,有整數解的，這個陰性數是陰性下合數，并能很快找到數因子； N自然數，b陰性數（加1能被6整除的），W為另一自然數。 兩式都沒有整數解的，這個陰性數是素數。36-13形的陰性數在以下式中可以確定是陰性上合數和陰性下合數還是陰性素數。 A陰五上 有整數解的，這個陰性數是陰性上合數；并很快找到數因子; A陰五下 ,有整數解的，這個陰性數是陰性下合數，并能很快找到數因子； N自然數，b陰性數（加1能被6整除的），W為另一自然數。 兩式都沒有整數解的，這個陰性數是素數.36-7形的陰性數在以下式中可以確定是陰性上合數和陰性下合數還是陰性素數。 A陰六上 有整數解的，這個陰性數是陰性上合數；并很找到數因子， A陰六下 ,有整數解的，這個陰性數是陰性下合數，并能很快找到數因子； N自然數，b陰性數（加1能被6整除的），W為另一自然數。 兩式都沒有整數解的，這個陰性數是素數. 陽性數可在以下各式中確定是陽性上合數和陽性下合數還是陽性素數。 A陽一上 一個陽性數代入此式B，有整數解的，這個陽性數是陽性上合數，并能很快找到數因子. A陽一下 一個陽性數代入此式B，有整數解的，這個陽性數是陽性下合數，并能很快找到數因子； ， N自然數，B陽性數（減1能被6整除的），W為另一自然數。 兩式都沒有整數解的，這個陽性數是質數。 A陽二上 一個陽性數代入此式B，有整數解的，這個陽性數是陽性上合數，并能很快找到數因子； A陽二下 一個陽性數代入此式B，有整數解的，這個陽性數是陽性下合數，并能很快找到數因子； ， N自然數，B陽性數（減1能被6整除的），W為另一自然數。 兩式都沒有整數解的，這個陽性數是質數。 A陽三上 一個陽性數代入此式B，有整數解的，這個陽性數是陽性上合數，并能很快找到數因子； A陽三下 一個陽性數代入此式B，有整數解的，這個陽性數是陽性下合數，并能很快找到數因子； ， N自然數，B陽性數（減1能被6整除的），W為另一自然數。 兩式都沒有整數解的，這個陽性數是質數。 A陽四上 一個陽性數代入此式B，有整數解的，這個陽性數是陽性上合數，并能很快找到數因子; A陽四下 一個陽性數代入此式B，有整數解的，這個陽性數是陽性下合數，并能很快找到數因子； ， N自然數，B陽性數（減1能被6整除的），W為另一自然數。 兩式都沒有整數解的，這個陽性數是質數。 A陽五上 一個陽性數代入此式B，有整數解的，這個陽性數是陽性上合數，并能很快找到數因子； A陽五下 一個陽性數代入此式B，有整數解的，這個陽性數是陽性下合數，并能很快找到數因子； ， N自然數，B陽性數（減1能被6整除的），W為另一自然數。 兩式都沒有整數解的，這個陽性數是質數. A陽六上 一個陽性數代入此式B，有整數解的，這個陽性數是陽性上合數，并能很快找到數因子； A陽六下 一個陽性數代入此式B，有整數解的，這個陽性數是陽性下合數，并能很快找到數因子； ， N自然數，B陽性數（減1能被6整除的），W為另一自然數。 兩式都沒有整數解的，這個陽性數是質數。 上面有多處筆誤，公式又不能更改，以下為準。 命題 1 對于B=36N+1 形數而言。 若不定方程（3N）^2+N-（B-1）/36=W^2 有整數解， 則 6（3N-W）+1 是小因子數；6（3N+W）+1 是大因子數。 若不定方程（3N）^2-N-（B-1）/36=W^2 有整數解， 則 6（3N-W）-1 是小因子數；6（3N+W）-1 是大因子數。 兩式都無解，是素數。 命題 2對于B=36N+7 形數而言。 若不定方（3N）^2+4N-（B-7）/36=W^2+W 有整數解， 則 6（3N-W）+1 是小因子數，6（3N+W+1）+1 是大因子數。 若不定方程（3N+2）^2+2N+2-（B+29）/36=W^2+W 有整數解， 則 6（3N+2-W）-1 是小因子數，6（3N+W+3）-1 是大因子數。 兩式都無解，是素數。 命題 3對于B=36N+13 形數而言。 若不定方程（3N+1）^2+N-（B-13）/36=W^2 有整數解， 則 6（3N+1-W）+1 是小因子數，6（3N+1+W）+1是大因子數。 若不定方程（3N+2）^2-N-（B+23）/36=W2 有整數解， 則 6（3N+2-W）-1 是小因子數，6（3N+2+W）-1是大因子數。 兩式都無解，是素數。 命題 4 對于B=36N+19 形數而言。 若不定方程（3N+1）^2+4N+1-（B-19）/36=W^2 +W 有整數解， 則 6（3N+1-W）+1 是小因子數；6（3N+2+W）+1 是大因子數。 若不定方程（3N+1）^2+2N+1-（B+17）/36=W^2 +W 有整數解， 則 6（3N+1-W）-1 是小因子數；6（3N+2+W）-1 是大因子數。 兩式都無解，是素數。 命題 5 對于B=36N+25 形數而言。 若不定方（3N+2）^2+N-（B-25）/36=W^2有整數解， 則 6（3N+2-W）+1 是小因子數，6（3N+2+W）+1 是大因子數。 若不定方程（3N+1）^2-N-（B+11）/36=W^2有整數解， 則 6（3N+1-W）-1 是小因子數，6（3N+1+W）-1 是大因子數。 兩式都無解，是素數。 命題 6 對于B=36N+31 形數而言。 若不定方程（3N+2）^2+4N+2-（B-31）/36=W^2 +W 有整數解， 則 6（3N+2-W）+1 是小因子數，6（3N+3+W）+1是大因子數。 若不定方程（3N+1）^2-4N-1-（B+5）/36=W^2+W有整數解， 則 6（3N-W）-1 是小因子數，6（3N+1+W）-1是大因子數。 兩式都無解，是素數。 命題 7對于B=36N-1 形數而言。 若不定方程（3N）^2-N+（B+1）/36=W^2 有整數解， 則 6（3N-W）+1 是小因子數；6（3N+W）-1 是大因子數。 若不定方程（3N）^2+N+（B+1）/36=W^2 有整數解， 則 6（W-3N）-1 是小因子數；6（W+3N）+1 是大因子數。 兩式都無解，是素數。 命題 8對于B=36N+5 形數而言。 若不定方（3N）^2+2N+（B-5）/36=W^2+W 有整數解， 則 6（W-3N）+1 是小因子數，6（W+3N+1）-1 是大因子數。 若不定方程（3N+2）^2+4N+2+（B+31）/36=W^2+W 有整數解， 則 6（W-3N-2）-1 是小因子數，6（W+3N+3）+1 是大因子數。 兩式都無解，是素數。 命題 9對于B=36N+11 形數而言。 若不定方程（3N+1）^2-N+（B-11）/36=W^2 有整數解， 則 6（W-3N-1）+1 是小因子數，6（W+3N+1）-1是大因子數。 若不定方程（3N+2）^2+N+(B+25）/36=W2 有整數解， 則 6(W-3N-2）-1 是小因子數，6（W+3N+2）+1是大因子數。 兩式都無解，是素數。 命題 10 對于B=36N+17 形數而言。 若不定方程（3N+1）^2+2N+1+（B-17）/36=W^2 +W 有整數解， 則 6（W-3N-1）+1 是小因子數；6（W+3N+2）-1 是大因子數。 若不定方程（3N+1）^2+4N+1+（B+19）/36=W^2 +W 有整數解， 則 6（W-3N-1）-1 是小因子數；6（W+3N+2）+1 是大因子數。 兩式都無解，是素數。 命題 11 對于B=36N+23 形數而言。 若不定方（3N+2）^2-N+（B-23）/36=W^2有整數解， 則 6（W-3N-2）+1 是小因子數，6（W+3N+2）+1 是大因子數。 若不定方程（3N+1）^2+N+（B+13）/36=W^2有整數解， 則 6（W-3N-1）-1 是小因子數，6（W+3N+1）+1 是大因子數。 兩式都無解，是素數。 命題 12 對于B=36N+29 形數而言。 若不定方程（3N+2）^2+2N+2+（B-29）/36=W^2 +W 有整數解， 則 6（W-3N-2）+1 是小因子數，6（W+3N+3）-1是大因子數。 若不定方程（3N）^2-4N+（B+7）/36=W^2+W有整數解， 則 6（W-3N）-1 是小因子數，6（W+3N+1）+1是大因子數。 兩式都無解，是素數。 關于哥德巴赫猜想(Su Bin):設（2+Na）*(2+Nb)=x經過推導得(x-4)^2=3(Na+Nb)^2+2NaNb(x-1) 所以x≥4,且x≠5.所以x≥6. 左邊為合數，右邊是兩個數的和。 參考資料 > [科普中國]-合數.科普中國網.2025-08-12判定