單位根（unit root）設n 是正整數，當一個數的n 次乘方等于1 時，稱此數為n 次“單位根”。在復數范圍內，n 次單位根有n 個。例如，1、－1、i、－i 都是4次單位根。確切的說，單位根指模為1的根，一般的x^n=1的n個根可以表示為： x=cos（2kπ/n)+sin（2kπ/n)i ，其中：k=0,1,2,..,n-1 ，i是虛數的單位。
基本內容
單位根單位根（unit root）設n 是正整數，當一個數的n 次乘方等于1 時，稱此數為n 次“單位根”。在復數范圍內，n 次單位根有n 個。例如，1、－1、i、－i 都是4次單位根。確切的說，單位根指模為1的根，一般的的n個根可以表示為:，其中: ，i是虛數的單位。它的生成元是單位的n次本源根。單位的n次本源根是，其中k和n互質。單位的n次本源根數目為歐拉函數。
本原根
單位的n次根以乘法構成n階循環群。它的生成元是單位的n次本原根。單位的n次本原根是，其中k和n互質。單位的n次本原根數目為歐拉函數
單位的一次根有一個：1。
單位的二次根有兩個：+1和-1，只有-1是本原根。
單位的三次根是
其中i復數單位；除1外都是本原根。
單位的四次根是
其中 + i和 - i是本原根。
這方程的復數根 z為n次單位根。
一些性質
性質一
n次單位根的模為1，即
性質二
兩個n次單位根εj與εk 的乘積還是一個n次單位根，且推論
推論2：
推論3：
若k除以n的余數為r，則
注：它說明εk等價于r=0
推論4：
任何一個單位根都可以寫成的冪，即
說明：除了，還有沒有另一個單位根使任何一個單位根都是εk的冪，回答是肯定的，并稱這樣的根為n次本原根，n次原根。從而所有n次單位根還可以寫作
推論5：
一個n次單位根的共軛也是一個n次單位根，即（‘表示共軛）
因為，（由推論3）
注：由上證明看到，說明所有虛的n次單位根都成對共軛
推論6：
對任意整數k,h，有
性質三
當時，，否則
證明：由性質二推論4有
推論1：（i從0到n-1）
推論2：設，則（i從0到n-1）
證明：由，故n不整除k，由性質二推論4和性質三，
（i從0到n-1） （i從0到n-1）
性質四
全部單位根將復平面上單位圓n等分
性質的應用
見圖冊（黑圖）
其中用到了一個關于n次單位根的性質（白圖性質3）
參考資料 >