數(shù)，是數(shù)學(xué)中的基本概念，也是人類(lèi)文明的重要組成部分。數(shù)的概念的每一次擴(kuò)充都標(biāo)志著數(shù)學(xué)的巨大飛躍。一個(gè)時(shí)代人們對(duì)于數(shù)的認(rèn)識(shí)與應(yīng)用，以及數(shù)系理論的完善程度，反映了當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)發(fā)展的水平。今天，所應(yīng)用的數(shù)系，已經(jīng)構(gòu)造的如此完備和縝密，以致于在科學(xué)技術(shù)和社會(huì)生活的一切領(lǐng)域中，它都成為基本的語(yǔ)言和不可或缺的工具。最早發(fā)展的一類(lèi)數(shù)系應(yīng)該是簡(jiǎn)單分群數(shù)系（simple grouping system），如在公元前3400年埃及象形文字中就有實(shí)例，它是10進(jìn)位的，但卻不是位置的。在公元前3000到2000年之間，巴比倫人發(fā)展了60進(jìn)位的定位數(shù)系（positional numeral system），它采用了位置制，卻不是10進(jìn)位的。而最重要和最美妙的記數(shù)法則是10進(jìn)位位置制記數(shù)法。
記數(shù)法
人類(lèi)在進(jìn)化的蒙昧?xí)r期，就具有了一種“識(shí)數(shù)”的才能，心理學(xué)家稱(chēng)這種才能為“數(shù)覺(jué)”（perception of number）。動(dòng)物行為學(xué)家則認(rèn)為，這種“數(shù)覺(jué)”并非為人類(lèi)所獨(dú)有。人類(lèi)智慧的卓越之處在于他們發(fā)明了種種記數(shù)方法。《周易·系辭下》記載“上古結(jié)繩而治，后世圣人，易之以書(shū)契”。東漢鄭玄稱(chēng)：“事大，大結(jié)其繩；事小，小結(jié)其繩。結(jié)之多少，隨物眾寡”。以結(jié)繩和書(shū)契記數(shù)的方法實(shí)際上遍及世界各地，如希臘、波斯、羅馬、巴勒斯坦、伊斯蘭教和中美洲國(guó)家都有文獻(xiàn)記載和實(shí)物標(biāo)本。直到1826年，英國(guó)財(cái)政部才決定停止采用符契作為法定記數(shù)器。隨著人類(lèi)社會(huì)的進(jìn)步，數(shù)的語(yǔ)言也在不斷發(fā)展和完善。數(shù)系發(fā)展的第一個(gè)里程碑出現(xiàn)了：位置制記數(shù)法。所謂位置制記數(shù)法，就是運(yùn)用少量的符號(hào)，通過(guò)它們不同個(gè)數(shù)的排列，以表示不同的數(shù)。引起歷史學(xué)家、數(shù)學(xué)史家興趣的是，在自然環(huán)境和社會(huì)條件影響下，不同的文明創(chuàng)造了迥然不同的記數(shù)方法。如巴比倫的楔形數(shù)字電路、埃及象形數(shù)字系統(tǒng)、希臘人字母數(shù)字系統(tǒng)、瑪雅數(shù)字系統(tǒng)、印度—阿拉伯?dāng)?shù)字系統(tǒng)和中國(guó)的算籌記數(shù)系統(tǒng)。
位置制記數(shù)法
法國(guó)著名數(shù)學(xué)家皮埃爾-西蒙·拉普拉斯（Laplace,1749–1827）曾經(jīng)寫(xiě)道：
用十個(gè)記號(hào)來(lái)表示一切的數(shù)，每個(gè)記號(hào)不但有絕對(duì)的值，而且有位置的值，這種巧妙的方法出自印度。這是一個(gè)深遠(yuǎn)而又重要的思想，它今天看來(lái)如此簡(jiǎn)單，以致我們忽視了它的真正偉績(jī)。但恰恰是它的簡(jiǎn)單性以及對(duì)一切計(jì)算都提供了極大的方便，才使得算術(shù)在一切有用的發(fā)明中列在首位；而當(dāng)想到它竟逃過(guò)了古代最偉大的兩位人物阿基米德和阿波羅尼斯的天才思想的關(guān)注時(shí)，更感到這成就的偉大了。
拉普拉斯的這段評(píng)論十分精彩，只可惜他張冠李戴，把這項(xiàng)發(fā)明歸之于印度。現(xiàn)已有充分而確鑿的史料證明，10進(jìn)位位置制記數(shù)法最先產(chǎn)生于中國(guó)。這一點(diǎn)也為西方的一些數(shù)學(xué)史家所主張。李約瑟就曾指出“在西方后來(lái)所習(xí)見(jiàn)的‘印度數(shù)字’的背后，位置制已在中國(guó)存在了兩千年。”不過(guò)，10進(jìn)位位置制記數(shù)法的產(chǎn)生不能單純地歸結(jié)為天才的智慧。記數(shù)法的進(jìn)步是與計(jì)算工具的改進(jìn)相聯(lián)系的。研究表明，10進(jìn)位位置制記數(shù)之產(chǎn)生于中國(guó)，是與算籌的使用與籌算制度的演進(jìn)分不開(kāi)的。
零
“0”作為記數(shù)法中的空位，在位置制記數(shù)的文明中是不可缺少的。早期的巴比倫楔形文字和宋代以前的中國(guó)籌算記數(shù)法，都是留出空位而沒(méi)有符號(hào)。印度人起初也是用空位表示零，后來(lái)記成點(diǎn)號(hào)“· ”，最后發(fā)展為圈號(hào)。印度數(shù)碼在公元8世紀(jì)傳入阿拉伯國(guó)家。13世紀(jì)初，意大利的商人斐波那契（Leonado Fibonacci, 1175 - 1250）編著《算經(jīng)》（Liber Abacci,1202），把包括零號(hào)在內(nèi)完整的印度數(shù)碼介紹到了歐洲。印度數(shù)碼和10進(jìn)位位置制記數(shù)法被歐洲人普遍接受后，在歐洲的科學(xué)和文明的進(jìn)步中扮演了重要的角色。
大數(shù)記法
遇到難題
古代希臘人曾經(jīng)提出一個(gè)問(wèn)題：他們認(rèn)為世界上的沙子是無(wú)窮的，即使不是無(wú)窮，也沒(méi)有一個(gè)可以寫(xiě)出來(lái)的數(shù)超過(guò)沙子的數(shù)。阿基米德（Archimedes,BC287-212）的回答是：不。在《數(shù)沙術(shù)》中，阿基米德以萬(wàn)（myriad）為基礎(chǔ)，建立新的記數(shù)法，使得任何大的數(shù)都能表示出來(lái)。他的做法是：從1起到1億（原文是萬(wàn)萬(wàn)，myriad myriads, 這里按照中文的習(xí)慣改稱(chēng)為億）叫做第1級(jí)數(shù)；以億(10)為第2級(jí)數(shù)的單位，從億到億億(10)2叫做第2級(jí)數(shù)；在以億億為單位，直到億億億(10)3叫做第3級(jí)數(shù)。直到第1億級(jí)數(shù)的最后一數(shù)億億。阿基米德算出充滿宇宙的沙子的數(shù)目不過(guò)是10,即使擴(kuò)充到“恒星宇宙”，即以太陽(yáng)到恒星的距離為半徑的天球，也不過(guò)只能容納10個(gè)沙粒！
大數(shù)之法
同樣的問(wèn)題也出現(xiàn)在中國(guó)古代。漢代以前，數(shù)皆10進(jìn)，以10萬(wàn)位億。韋曜解《國(guó)語(yǔ)·鄭語(yǔ)》第十六：“計(jì)億事，材兆物，收經(jīng)入，行垓極”。注稱(chēng)“計(jì)，算也；材，裁也。賈唐說(shuō)皆以萬(wàn)萬(wàn)為億，鄭后司農(nóng)云：十萬(wàn)曰億，十億曰兆，從古數(shù)也。”《數(shù)術(shù)記遺》中則詳細(xì)記載了對(duì)大數(shù)的一整套命名和三種進(jìn)位方法。《數(shù)術(shù)記遺》稱(chēng)：
黃帝為法，數(shù)有十等，及其用也，乃有三焉。十等者億、兆、京、垓、、壤、溝、澗、正、載；三等者，謂上、中、下也。其下數(shù)者。十十變之，若言十萬(wàn)曰億，十億曰兆，十兆曰京也。中數(shù)者，萬(wàn)萬(wàn)變之，若言萬(wàn)萬(wàn)曰億、萬(wàn)萬(wàn)億曰兆，萬(wàn)萬(wàn)兆曰京。上數(shù)者，數(shù)窮則變，若言萬(wàn)萬(wàn)曰億，億億曰兆，兆兆曰京也。從億至載，終于大衍。
數(shù)學(xué)意義
《數(shù)術(shù)記遺》中的“大數(shù)之法”的數(shù)學(xué)意義并不僅僅在于它構(gòu)造了三種記數(shù)方法，更為重要的是它揭示了人們對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)從有限走向無(wú)限的艱難歷程。客觀的需要和數(shù)學(xué)的發(fā)展都促使人們?nèi)フJ(rèn)識(shí)和把握越來(lái)越大的數(shù)。起初，對(duì)一些較大的數(shù)，人們還可以理解它，還能夠利用已有的記數(shù)單位去表示它。但是，隨著人們認(rèn)識(shí)的發(fā)展，這些大數(shù)也在迅速的擴(kuò)張，原有的記數(shù)單位難以為用。人們不禁要問(wèn)：
數(shù)有窮乎？
這是數(shù)系發(fā)展中的需要回答的重大命題。《數(shù)術(shù)記遺》中記載的徐岳和他的老師劉洪的對(duì)話，精彩的闡明了“數(shù)窮則變”的深刻道理：
徐岳問(wèn)曰：數(shù)有窮乎？
會(huì)稽郡（劉洪）答曰：吾曾游浙江天目山中，見(jiàn)有隱者，世莫知其名，號(hào)曰天目先生，余亦以此意問(wèn)之。先生曰：世人言三不能比兩，乃云捐悶與四維。數(shù)不識(shí)三，妄談知十。不辨積微之為量，詎曉百億于大千。黃帝為法，數(shù)有十等。……從億至載，終于大衍。
會(huì)稽問(wèn)曰：先生之言，上數(shù)者數(shù)窮則變，既云終于大衍，大衍有限，此何得無(wú)窮？
先生答曰：數(shù)之為用，言重則變，以小兼大，又加循環(huán)。循環(huán)之理，且有窮乎！
天目先生的做法是借助“以小兼大”的“循環(huán)之理”，以有限來(lái)認(rèn)識(shí)無(wú)限，而指引這一途徑的重要思想是“言重則變”。即便是今日，“數(shù)窮則變”這一樸素的辯證思維所蘊(yùn)涵的深邃哲理仍值得人們深思。
有理數(shù)系
位置制記數(shù)法的出現(xiàn)，標(biāo)志著人類(lèi)掌握的數(shù)的語(yǔ)言，已從少量的文字個(gè)體，發(fā)展到了一個(gè)具有完善運(yùn)算規(guī)則的數(shù)系。人類(lèi)第一個(gè)認(rèn)識(shí)的數(shù)系，就是常說(shuō)的“自然數(shù)系”。但是，隨著人類(lèi)認(rèn)識(shí)的發(fā)展，自然數(shù)系的缺陷也就逐漸顯露出來(lái)。首先，自然數(shù)系是一個(gè)離散的、而不是稠密的數(shù)系，因此，作為量的表征，它只能限于去表示一個(gè)單位量的整數(shù)倍，而無(wú)法表示它的部分。同時(shí)，作為運(yùn)算的手段，在自然數(shù)系中只能施行加法和乘法，而不能自由地施行它們的逆運(yùn)算。這些缺陷，由于分?jǐn)?shù)和負(fù)數(shù)的出現(xiàn)而得以彌補(bǔ)。
分?jǐn)?shù)
有趣的是這些分?jǐn)?shù)也都帶有強(qiáng)烈的地域特征。巴比倫的分?jǐn)?shù)是60進(jìn)位的，埃及采用的是單分?jǐn)?shù)(unit fraction)，阿拉伯的分?jǐn)?shù)更加復(fù)雜：?jiǎn)畏謹(jǐn)?shù)、主分?jǐn)?shù)和復(fù)合分?jǐn)?shù)。這種繁復(fù)的分?jǐn)?shù)表示必然導(dǎo)致分?jǐn)?shù)運(yùn)算方法的繁雜，所以歐洲分?jǐn)?shù)理論長(zhǎng)期停滯不前，直到15世紀(jì)以后才逐步形成現(xiàn)代的分?jǐn)?shù)算法。與之形成鮮明對(duì)照的是中國(guó)古代在分?jǐn)?shù)理論上的卓越貢獻(xiàn)。
原始的分?jǐn)?shù)概念來(lái)源于對(duì)量的分割。如《說(shuō)文·八部》對(duì)“分”的解釋?zhuān)骸胺郑瑒e也。從八從刀，刀以分別物也。”但是，《九章算術(shù)》中的分?jǐn)?shù)是從除法運(yùn)算引入的。其“合分術(shù)”有云：“實(shí)如法而一。不滿法者，以法命之。”這句話的今譯是：被除數(shù)除以除數(shù)。如果不能除盡，便定義了一個(gè)分?jǐn)?shù)。中國(guó)古代分?jǐn)?shù)理論的高明之處是它借助于“齊同術(shù)”把握住了分?jǐn)?shù)算法的精髓：通分。劉徽在《九章算術(shù)注》中所言：
眾分錯(cuò)雜，非細(xì)不會(huì)。乘而散之，所以通之。通之則可并也。凡母互乘子謂之齊，群母相乘謂之同。同者，相與通同共一母也。齊者，子與母齊，勢(shì)不可失本數(shù)也。
有了齊同術(shù)，就可將分?jǐn)?shù)化異類(lèi)為同類(lèi)，變相違為相通。劉徽深得其中奧秘，稱(chēng)：“然則齊同之術(shù)要矣。錯(cuò)綜度數(shù)，動(dòng)之斯諧，其猶佩觹解結(jié)，無(wú)往而不理焉。乘以散之，約以聚之，齊同以通之，此其算之綱紀(jì)乎。”
容易證明，分?jǐn)?shù)系是一個(gè)稠密的數(shù)系，它對(duì)于加、乘、除三種運(yùn)算是封閉的。為了使得減法運(yùn)算在數(shù)系內(nèi)也同行無(wú)阻，負(fù)數(shù)的出現(xiàn)就是必然的了。盈余與不足、收入與支出、增加與減少是負(fù)數(shù)概念在生活中的實(shí)例，教科書(shū)在向?qū)W生講授負(fù)數(shù)時(shí)也多循此途。這就產(chǎn)生一種誤解：似乎人類(lèi)正是從這種具有相反意義的量的認(rèn)識(shí)而引進(jìn)了負(fù)數(shù)的。歷史的事實(shí)表明：負(fù)數(shù)之所以最早為中算家所引進(jìn)，這是由中國(guó)古代傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中，算法高度發(fā)達(dá)和籌算機(jī)械化的特點(diǎn)所決定的。負(fù)數(shù)的概念和算法首先出現(xiàn)在《九章算術(shù)》“方程”章，因?yàn)閷?duì)“方程”進(jìn)行兩行之間的加減消元時(shí)，就必須引入負(fù)數(shù)和建立正負(fù)數(shù)的運(yùn)算法則。劉徽的注釋深刻的闡明了這點(diǎn)：
今兩算得失相反，要令正負(fù)以名之。正算赤，負(fù)算黑，否則以斜正為異。方程自有赤黑相取，左右數(shù)相推求之術(shù)。而其并減之勢(shì)不得廣通，故使赤黑相消奪之。……故赤黑相雜足以定上下之程，減益雖殊足以通左右之?dāng)?shù)，差實(shí)雖分足以應(yīng)同異之率。然則其正無(wú)入負(fù)之，負(fù)無(wú)入正之，其率不妄也。
負(fù)數(shù)
負(fù)數(shù)雖然通過(guò)阿拉伯人的著作傳到了歐洲，但16世紀(jì)和17世紀(jì)的大多數(shù)數(shù)學(xué)家并不承認(rèn)它們是數(shù)，或者即使承認(rèn)了也并不認(rèn)為它們是方程的根。如丘凱（Nicolas Chuquet，1445-1500）和斯蒂費(fèi)爾（Stifel,1486-1567）都把負(fù)數(shù)說(shuō)成是荒謬的數(shù)，是“無(wú)稽之零下”。吉羅拉莫·卡爾達(dá)諾(Cardan,1501-1576)把負(fù)數(shù)作為方程的根，但認(rèn)為它們是不可能的解，僅僅是一些記號(hào)；他把負(fù)根稱(chēng)作是虛有的。韋達(dá)(Vieta,1540-1630)完全不要負(fù)數(shù)，巴斯卡（Pascal,1623-1662）則認(rèn)為從0減去4純粹是胡說(shuō)。
負(fù)數(shù)是人類(lèi)第一次越過(guò)正數(shù)域的范圍，前此種種的經(jīng)驗(yàn)，在負(fù)數(shù)面前全然無(wú)用。在數(shù)系發(fā)展的歷史進(jìn)程中，現(xiàn)實(shí)經(jīng)驗(yàn)有時(shí)不僅無(wú)用，反而會(huì)成為一種阻礙。將會(huì)看到，負(fù)數(shù)并不是惟一的例子。
實(shí)數(shù)理論的完善
無(wú)理數(shù)的發(fā)現(xiàn)
無(wú)理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，擊碎了Pythagoras學(xué)派“萬(wàn)物皆數(shù)”的美夢(mèng)。同時(shí)暴露出有理數(shù)系的缺陷：一條直線上的有理數(shù)盡管是“稠密”，但是它卻漏出了許多“孔隙”，而且這種“孔隙”多的“不可勝數(shù)”。這樣，古希臘人把有理數(shù)視為是連續(xù)銜接的那種算術(shù)連續(xù)統(tǒng)的設(shè)想，就徹底的破滅了。它的破滅，在以后兩千多年時(shí)間內(nèi)，對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展，起到了深遠(yuǎn)的影響。不可通約的本質(zhì)是什么？長(zhǎng)期以來(lái)眾說(shuō)紛紜。兩個(gè)不可通約量的比值也因其得不到正確的解釋?zhuān)徽J(rèn)為是不可理喻的數(shù)。15世紀(jì)列奧納多·達(dá)·芬奇（Leonardo da Vinci,1452-1519）把它們稱(chēng)為是“無(wú)理的數(shù)”（irrational number），約翰尼斯·開(kāi)普勒（J.Kepler,1571-1630）稱(chēng)它們是“不可名狀”的數(shù)。這些“無(wú)理”而又“不可名狀”的數(shù)，找到雖然在后來(lái)的運(yùn)算中漸漸被使用，但是它們究竟是不是實(shí)實(shí)在在的數(shù)，卻一直是個(gè)困擾人的問(wèn)題。
無(wú)理根數(shù)
中國(guó)古代數(shù)學(xué)在處理開(kāi)方問(wèn)題時(shí)，也不可避免地碰到無(wú)理根數(shù)。對(duì)于這種“開(kāi)之不盡”的數(shù)，《九章算術(shù)》直截了當(dāng)?shù)亍耙悦婷庇枰越邮埽?a href="/hebeideji/5383302394913191454.html">劉徽注釋中的“求其微數(shù)”，實(shí)際上是用10進(jìn)小數(shù)來(lái)無(wú)限逼近無(wú)理數(shù)。這本是一條完成實(shí)數(shù)系統(tǒng)的正確道路，只是劉徽的思想遠(yuǎn)遠(yuǎn)超越了他的時(shí)代，而未能引起后人的重視。不過(guò)，中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)關(guān)注的是數(shù)量的計(jì)算，對(duì)數(shù)的本質(zhì)并沒(méi)有太大的興趣。（李）而善于究根問(wèn)底的希臘人就無(wú)法邁過(guò)這道坎了。既然不能克服它，那就只好回避它。此后的希臘數(shù)學(xué)家，如歐多克斯（歐多克索斯）、歐幾里得（Euclid）在他們的幾何學(xué)里，都嚴(yán)格避免把數(shù)與幾何量等同起來(lái)。歐多克斯的比例論（見(jiàn)《幾何原本》第5卷），使幾何學(xué)在邏輯上繞過(guò)了不可公度的障礙，但就在這以后的漫長(zhǎng)時(shí)期中，形成了幾何與算術(shù)的顯著分離。
微積分
17、18世紀(jì)微積分的發(fā)展幾乎吸引了所有數(shù)學(xué)家的注意力，恰恰是人們對(duì)微積分基礎(chǔ)的關(guān)注，使得實(shí)數(shù)域的連續(xù)性問(wèn)題再次突顯出來(lái)。因?yàn)椋⒎e分是建立在極限運(yùn)算基礎(chǔ)上的變量數(shù)學(xué)，而極限運(yùn)算，需要一個(gè)封閉的數(shù)域。無(wú)理數(shù)正是實(shí)數(shù)域連續(xù)性的關(guān)鍵。
無(wú)理數(shù)的定義
無(wú)理數(shù)指的是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)
三大派理論
變量數(shù)學(xué)獨(dú)立建造完備數(shù)域的歷史任務(wù)，終于在19世紀(jì)后半葉，由卡爾·魏爾施特拉斯（Weierstrass,1815-1897）、戴德金（R.Dedekind1831-1916）、格奧爾格·康托爾（G.Cantor,1845-1918）等人加以完成了。
1872年，是近代數(shù)學(xué)史上最值得紀(jì)念的一年。這一年，菲利克斯·克萊因（F.Kline,1849-1925）提出了著名的“埃爾朗根綱領(lǐng)”（Erlanger Programm），維爾斯特拉斯給出了處處連續(xù)但處處不可微函數(shù)的著名例子。也正是在這一年，實(shí)數(shù)的三大派理論：戴德金“分割”理論、康托的“基本序列”理論以及維爾斯特拉斯的“有界單調(diào)序列”理論，同時(shí)在德國(guó)出現(xiàn)了。
建立實(shí)數(shù)的目的
努力建立實(shí)數(shù)的目的，是為了給出一個(gè)形式化的邏輯定義，它既不依賴幾何的含義，又避免用極限來(lái)定義無(wú)理數(shù)的邏輯錯(cuò)誤。有了這些定義做基礎(chǔ)，微積分中關(guān)于極限的基本定理的推導(dǎo)，才不會(huì)有理論上的循環(huán)。導(dǎo)數(shù)和積分從而可以直接在這些定義上建立起來(lái)，免去任何與感性認(rèn)識(shí)聯(lián)系的性質(zhì)。幾何概念是不能給出充分明白和精確的，這在微積分發(fā)展的漫長(zhǎng)歲月的過(guò)程中已經(jīng)被證明。因此，必要的嚴(yán)格性只有通過(guò)數(shù)的概念，并且在割斷數(shù)的概念與幾何量觀念的聯(lián)系之后才能完全達(dá)到。這里，戴德金的工作受到了崇高的評(píng)價(jià)，這是因?yàn)椋伞按鞯陆鸱指睢倍x的實(shí)數(shù)，是完全不依賴于空間與時(shí)間直觀的人類(lèi)智慧的創(chuàng)造物。
實(shí)數(shù)的三大派理論本質(zhì)上是對(duì)無(wú)理數(shù)給出嚴(yán)格定義，從而建立了完備的實(shí)數(shù)域。實(shí)數(shù)域的構(gòu)造成功，使得兩千多年來(lái)存在于算術(shù)與幾何之間的鴻溝得以完全填平，無(wú)理數(shù)不再是“無(wú)理的數(shù)”了，古希臘人的算術(shù)連續(xù)統(tǒng)一的設(shè)想，也終于在嚴(yán)格的科學(xué)意義下得以實(shí)現(xiàn)。
復(fù)數(shù)的擴(kuò)張
復(fù)數(shù)概念的進(jìn)化是數(shù)學(xué)史中最奇特的一章，那就是數(shù)系的歷史發(fā)展完全沒(méi)有按照教科書(shū)所描述的邏輯連續(xù)性。人們沒(méi)有等待實(shí)數(shù)的邏輯基礎(chǔ)建立之后，才去嘗試新的征程。在數(shù)系擴(kuò)張的歷史過(guò)程中，往往許多中間地帶尚未得到完全認(rèn)識(shí)，而天才的直覺(jué)隨著勇敢者的步伐已經(jīng)到達(dá)了遙遠(yuǎn)的前哨陣地。
虛數(shù)的開(kāi)始
1545年，此時(shí)的歐洲人尚未完全理解負(fù)數(shù)、無(wú)理數(shù)，然而他們智力又面臨一個(gè)新的“怪物”的挑戰(zhàn)。例如卡丹在所著《大術(shù)》（1545）中提出一個(gè)問(wèn)題：把10分成兩部分，使其乘積為40。這需要解方程，他求得的根是和，然后說(shuō)“不管會(huì)受到多大的良心責(zé)備，”把和相乘，得到。于是他說(shuō)，“算術(shù)就是這樣神妙地搞下去，它的目標(biāo)，正如常言所說(shuō)，是有精致又不中用的。”勒內(nèi)·笛卡爾（Descartes,1596-1650）也拋棄復(fù)根，并造出了“虛數(shù)”（imaginary number）這個(gè)名稱(chēng)。對(duì)復(fù)數(shù)的模糊認(rèn)識(shí)，戈特弗里德·萊布尼茨（Leibniz,1646-1716）的說(shuō)法最有代表性：“圣靈在分析的奇觀中找到了超凡的顯示，這就是那個(gè)理想世界的端兆，那個(gè)介于存在與不存在之間的兩棲物，那個(gè)我們稱(chēng)之為虛的—1的平方根。”
虛數(shù)的發(fā)展
直到18世紀(jì)，數(shù)學(xué)家們對(duì)復(fù)數(shù)才稍稍建立了一些信心。因?yàn)椋还苁裁吹胤剑跀?shù)學(xué)的推理中間步驟中用了復(fù)數(shù)，結(jié)果都被證明是正確的。特別是1799年，高斯（Gauss,1777-1855）關(guān)于“代數(shù)基本定理”的證明必須依賴對(duì)復(fù)數(shù)的承認(rèn)，從而使復(fù)數(shù)的地位得到了近一步的鞏固。當(dāng)然，這并不是說(shuō)人們對(duì)“復(fù)數(shù)”的顧慮完全消除了。甚至在1831年，棣莫甘（De Morgan,1806-1871）在他的著作《論數(shù)學(xué)的研究和困難》中依然認(rèn)為：
已經(jīng)證明了記號(hào)是沒(méi)有意義的，或者甚至是自相矛盾或荒唐可笑的。然而，通過(guò)這些記號(hào)，代數(shù)中極其有用的一部分便建立起來(lái)的，它依賴于一件必須用經(jīng)驗(yàn)來(lái)檢驗(yàn)的事實(shí)，即代數(shù)的一般規(guī)則可以應(yīng)用于這些式子（復(fù)數(shù)）。……
知道，18世紀(jì)是數(shù)學(xué)史上的“英雄世紀(jì)”，人們的熱情是如何發(fā)揮微積分的威力，去擴(kuò)大數(shù)學(xué)的領(lǐng)地，沒(méi)有人會(huì)對(duì)實(shí)數(shù)系和復(fù)數(shù)系的邏輯基礎(chǔ)而操心。既然復(fù)數(shù)至少在運(yùn)算法則上還是直觀可靠的，那又何必去自找麻煩呢？
虛數(shù)與向量
1797年，挪威的韋塞爾（C.Wessel,1745-1818）寫(xiě)了一篇論文“關(guān)于方向的分析表示”，試圖利用向量來(lái)表示復(fù)數(shù)，遺憾的是這篇文章的重大價(jià)值直到1897年譯成法文后，才被人們重視。瑞士人阿甘達(dá)（J.Argand,1768-1822）給出復(fù)數(shù)的一個(gè)稍微不同的幾何解釋。他注意到負(fù)數(shù)是正數(shù)的一個(gè)擴(kuò)張，它是將方向和大小結(jié)合起來(lái)得出的，他的思路是：能否利用新增添某種新的概念來(lái)擴(kuò)張實(shí)數(shù)系？在使人們接受復(fù)數(shù)方面，高斯的工作更為有效。他不僅將a+bi表示為復(fù)平面上的一點(diǎn)(a,b)，而且闡述了復(fù)數(shù)的幾何加法和乘法。他還說(shuō)，如果1,—1和原來(lái)不稱(chēng)為正、負(fù)和虛單位，而稱(chēng)為直、反和側(cè)單位，那么人們對(duì)這些數(shù)就可能不會(huì)產(chǎn)生種種陰暗神秘的印象。他說(shuō)幾何表示可以使人們對(duì)虛數(shù)真正有一個(gè)新的看法，他引進(jìn)術(shù)語(yǔ)“復(fù)數(shù)”（complex number）以與虛數(shù)相對(duì)立，并用i代替。
復(fù)數(shù)a+bi
在澄清復(fù)數(shù)概念的工作中，愛(ài)爾蘭數(shù)學(xué)家哈米爾頓（Hamilton,1805–1865）是非常重要的。哈米爾頓所關(guān)心的是算術(shù)的邏輯，并不滿足于幾何直觀。他指出：復(fù)數(shù)a+bi不是2+3意義上的一個(gè)真正的和，加號(hào)的使用是歷史的偶然，而bi不能加到a上去。復(fù)數(shù)a+bi只不過(guò)是實(shí)數(shù)的有序數(shù)對(duì)（a，b），并給出了有序數(shù)對(duì)的四則運(yùn)算，同時(shí)，這些運(yùn)算滿足結(jié)合律、交換律和分配率。在這樣的觀點(diǎn)下，不僅復(fù)數(shù)被邏輯地建立在實(shí)數(shù)的基礎(chǔ)上，而且至今還有點(diǎn)神秘的也完全消除了。
綜述
回顧數(shù)系的歷史發(fā)展，似乎給人這樣一種印象：數(shù)系的每一次擴(kuò)充，都是在舊的數(shù)系中添加新的元素。如分?jǐn)?shù)添加于整數(shù)，負(fù)數(shù)添加于正數(shù)，無(wú)理數(shù)添加于有理數(shù)，復(fù)數(shù)添加于實(shí)數(shù)。但是，現(xiàn)代數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)認(rèn)為：數(shù)系的擴(kuò)張，并不是在舊的數(shù)系中添加新元素，而是在舊的數(shù)系之外去構(gòu)造一個(gè)新的代數(shù)系，其元素在形式上與舊的可以完全不同，但是，它包含一個(gè)與舊代數(shù)系同構(gòu)的子集，這種同構(gòu)必然保持新舊代數(shù)系之間具有完全相同的代數(shù)構(gòu)造。當(dāng)人們澄清了復(fù)數(shù)的概念后，新的問(wèn)題是：是否還能在保持復(fù)數(shù)基本性質(zhì)的條件下對(duì)復(fù)數(shù)進(jìn)行新的擴(kuò)張呢？答案是否定的。當(dāng)哈米爾頓試圖尋找三維空間復(fù)數(shù)的類(lèi)似物時(shí)，他發(fā)現(xiàn)自己被迫要做兩個(gè)讓步：第一，他的新數(shù)要包含四個(gè)分量；第二，他必須犧牲乘法交換率。這兩個(gè)特點(diǎn)都是對(duì)傳統(tǒng)數(shù)系的革命。他稱(chēng)這新的數(shù)為“四元數(shù)”。“四元數(shù)”的出現(xiàn)昭示著傳統(tǒng)觀念下數(shù)系擴(kuò)張的結(jié)束。1878年，富比尼（F.Frobenius,1849–1917)證明：具有有限個(gè)原始單元的、有乘法單位元素的實(shí)系數(shù)先行結(jié)合代數(shù)，如果服從結(jié)合律，那就只有復(fù)數(shù)和實(shí)四元數(shù)的代數(shù)。
數(shù)學(xué)的思想一旦沖破傳統(tǒng)模式的藩籬，便會(huì)產(chǎn)生無(wú)可估量的創(chuàng)造力。哈米爾頓的四元數(shù)的發(fā)明，使數(shù)學(xué)家們認(rèn)識(shí)到既然可以拋棄實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)的交換性去構(gòu)造一個(gè)有意義、有作用的新“數(shù)系”，那么就可以較為自由地考慮甚至偏離實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)的通常性質(zhì)的代數(shù)構(gòu)造。數(shù)系的擴(kuò)張雖然就此終止，但是，通向抽象代數(shù)的大門(mén)被打開(kāi)了。
參考資料 >
皮慶華.由數(shù)系的發(fā)展淺談其與數(shù)學(xué)各分支的聯(lián)系[J].課程教育研究（新教師教學(xué)）,2016,(17):22-23..萬(wàn)方數(shù)據(jù)庫(kù).2019-07-04