素理想對應著不可約的代數簇，極大理想對應點。理想數上有算術基本定理，即可以唯一分解成素理想的乘積。這里的素理想就是推廣了整數環中的素數的概念。理想理論后為戴德金所發展，現在已成為代數數論、交換代數等理論的基礎內容之一。
定義
一個環R中的理想P如果滿足以下條件就稱作素理想：對任何元素a和b，如果乘積ab屬于P，那么a或b中至少有一個屬于P。素理想是一個真理想，即P ≠ R。對于交換環的理想A和B，若有AB ? P，則A ? P或B ? P。
例子
1. Z是整數環，R中任何理想都是主理想，即由一個整數d生成的理想(d)。換言之，該理想是由d的全體倍數構成的集合。(d)是素理想當且僅當d是素數。
2. Q是有理數域，R中的理想只有零理想和R本身。零理想顯然是素理想。
3. F[x]是域F上的多項式環——即系數取自F的多項式全體構成的集合，R中的素理想就是由不可約多項式生成的理想。
4. C[X, Y]表示復系數二元多項式環，由多項式Y^2 ? X^3 ? X ? 1生成的理想是素理想。
5. Z[X]中，由2和X生成的理想是素理想，它由所有系數項為偶數的多項式組成。
性質
2. P是R的極大理想當且僅當商環R/P是域。因此極大理想必是素理想。
3. R的零理想是素理想當且僅當R是整環。
4. 交換環R中的理想I是素理想，當且僅當R \ I在乘法運算下封閉。
5. 每一個非零的交換環都含有至少一個素理想，這是克魯爾定理的一個直接結果。
6. 一個交換環是整環，當且僅當{0}是一個素理想。
7. 一個交換環是體，當且僅當{0}是唯一的素理想，或等價地，當且僅當{0}是一個極大理想。
8. 一個素理想在環同態下的原像是素理想。
9. 兩個素理想的和不一定是素理想。
背景
素理想一詞最早可追溯到皮耶·德·費瑪最后的定理（也稱費馬大定理）的研究，即證明著名的費馬方程：
當時沒有非零整數解，這一問題的研究首先被擴展到n次單位根擴域上--分圓域來討論。人們試圖利用類似整數的算術基本定理來證明方程無解。但遺憾的是，分圓域上算術基本定理不一定成立。為了彌補這一缺陷，庫莫引入了理想數的概念--即“理想”的雛形。理想數上有算術基本定理，可以分解成素理想的乘積。這里的素理想當然就是推廣了整數環中的素數的概念， 理想理論后為戴德金所發展，現在已成為代數數論、交換代數等理論的基礎內容之一。
與幾何的聯系
對于代數閉域 k（比如復數域）上的多項式環，希爾伯特基定理指出：任何理想I總是由有限個多項式生成. 這些多項式定義了n維仿射空間中的代數簇即這些多項式方程組的零點集。代數幾何的基本結論表明，在所有根理想的冪集和所有代數簇的集族之間存在一一對應。
非交換環的素理想
如果R是非交換環，那么R的理想P是素理想，如果它具有以下兩個性質：
1. 只要a，b是R的兩個元素，使得對于R的所有元素r，它們的乘積arb都位于P內，那么要么a位于P內，要么b位于P內。
2. P不等于整個環R。
對于交換環，這個定義等價于前面所述的定義。對于非交換環，這兩個定義是不同的。使ab位于P內意味著a或b位于P內的理想稱為完全素理想。完全素理想是素理想，但反過來不成立。例如，n × n矩陣環中的零理想是素理想，但不是完全素理想。
例子
1. 任何極大理想都是素理想。
2. 任何本原理想都是素理想。
3. 任何素環的零理想都是素理想。
參考資料 >