仿射空間（英文: Affine space)，又稱線性流形，是數學中的一種幾何結構，它是歐式空間的仿射特性的推廣。在仿射空間中，點與點之間做差可以得到向量，點與向量做加法將得到另一個點，但是點與點之間不可以做加法。仿射空間中沒有特定的原點，因此不能將空間中的每一點和特定的向量對應起來，只有從一個點到另一個點的位移向量，或稱平移向量。
定義
仿射空間是點和向量的集合，它的定義是：
（1）設A為一個點集，A中任意兩個有序點P、Q對應于n維向量空間中的一個矢量a；
（2）設P、Q、R為A中任意三點，P、Q對應于矢量a，Q、R對應于矢量b，則P、R對應于矢量a+b。
具有上面兩個性質的點集A就叫做一個仿射空間。
非正式描述
仿射空間像是沒有原點的向量空間，其中向量只有方向和大小。假設有甲乙兩人，其中甲知道一個空間中真正的原點，但是乙認為另一個點{\displaystyle p}才是原點。現在求兩個向量{\displaystyle a}和{\displaystyle b}的和。乙畫出{\displaystyle p}到{\displaystyle a}和{\displaystyle p}到{\displaystyle b}的態射，然后用平行四邊形找到他認為的向量{\displaystyle a+b}。但是甲認為乙畫出的是向量{\displaystyle p+(a-p)+(b-p)}。同樣的，甲和乙可以計算向量{\displaystyle a}和{\displaystyle b}的線性組合，通常情況下他們會得到不同的結果。然而，請注意：如果線性組合系數的和為1，那么甲和乙將得到同樣的結果。
概念理解
從基本數學概念上來說，一個坐標系對應了一個仿射空間 (Affine Space)，當矢量從一個坐標系變換到另一個坐標系時要進行線性變換 (Linear Transformation)。對點來說， 要進行仿射變換 (Affine Transformation)。這就是我們利用同源坐標的理由。它能在對矢量進行線性變換的同時對點進行仿射變換。坐標變換的基本操作就是將變換矩陣乘以矢量或點。
參考資料 >