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素環是一類重要的環。若環R的零理想是素理想，則稱R為素環。整環、單環、本原環都是素環。素環與素理想有如下關系：P是R的素理想當且僅當R/P是素環。素環同時推廣了整環與域上的矩陣環。
簡介
設 R 為環，P 為 R 的理想。若對于 R 的任意理想 都有，則稱 P 為 R 的一個素理想（prime ideal）。若零理想是環 R 的素理想，則稱 R 為一個素環。例：非交換整環、單環、（左或右）本原環為素環。
若環 R 的理想 Q 滿足：對于使得 的任意理想 I 都有，則稱 Q 是 R 的半素理想。若 R 的零理想是半素理想，則稱 R 為半素環（semiprime 圓環）。環 R 為半素環當且僅當 R 為素環當次直積，當且僅當 R 中所有素理想的交為零。
準素環
定義
若局部環R的雅各布森根是冪零的，則稱R為完全準素環（completely primary ring）。
完全準素環R上的全矩陣環稱為準素環。
若半局部環R的雅各布森根是冪零的，則稱R為半準素環（semiprimary ring）。
幺環R為左阿廷環當且僅當它既是左諾特又是半準素環。
性質
準素環是接近素環的特殊環類。一個有單位元的交換環R，若它最多含一個素理想P，則稱R為準素環。
例如，域是準素環。
若交換環R的準素理想Q有極大理想M作為其相伴素理想，則也是準素環。
任意滿足降鏈條件的有1交換環R，可惟一分解為諾特準素環的直和。
例子
素環的例子包括：
- 整環。
- 單環。
- 整域上的矩陣環。
性質
含單位元的交換環是素環的充要條件是它是整環。一個環是素環當且僅當 (0) 是素理想。一個非零環是素環當且僅當其雙邊理想在乘法下構成的幺半群無零因子。布于素環上的矩陣環仍是素環。
參考資料 >