在抽象代數之分支環理論中，一個環 R 的雅各布森根（Jacobson radical）是 R 的一個理想，包含在某種意義上“與零接近”的那些元素。羅曼·雅各布森根是雅各布森(Jacobson,N.)于1945年引入的。
定義
雅各布森根記做 J(R) 可用如下等價的方式定義：
??所有極大左理想之交。
??所有極大右理想之交。
??所有單左R-模的零化子之交。
??所有單右R-模的零化子之交。
??所有左本原理想（primitive ideal）之交。
??所有右本原理想之交。
?
??
??如果R可交換，R的所有極大理想之交。
??最大理想I使得對所有。
注意，最后一個性質不意味著R中使可逆的任何元素x都是 J(R) 的一個元素。
另外，如果R不可交換，則 J(R) 不必等于R中所有雙邊極大理想之交。
雅各布森根也能對沒有恒同元素（或說單位）的環定義。參見 I. N. Herstein 所著《Noncommutative Rings》。
雅各布森根以內森·雅各布森（Nathan Jacobson）命名，他最先研究了雅各布森根。
例子
??任何域的雅各布森根是。整數的雅各布森根是。
??環 的雅各布森根是 。
??如果K是一個域，R是所有元素位于K中的上三角n×n矩陣環，則 J(R) 由主對角線為零的所有上三角矩陣組成。
??如果K是域， 是形式冪級數環，則 J(R) 由常數項為零的所有冪級數組成。更一般地，任何局部環的雅各布森根由這個環的非單位環組成。
??由一個有限箭圖（quiver）Γ 與一個域K開始，考慮箭圖代數KΓ （在箭圖一文有具體說明）。這個環的雅各布森根由 Γ 中所有長度 的道路生成。
??一個的雅各布森根是 {0}。這得自蓋爾范德-奈馬克定理（Gelfand–Naimark theorem）以及關于 -代數的事實，一個希爾伯特空間上的拓撲不可約 -表示是代數不可約的，從而其核在純代數意義上是一個本原理想。
性質
??除非R是平凡環 {0}，雅各布森根總是R中不等于R的理想。
??如果R可交換有限生成Z-模，則 J(R) 等于R的詣零根（nilradical）。
??環的雅各布森根等于零。具有零雅各布森根的環稱為半本原環（semiprimitive ring）。
??如果是一個滿環同態，則。
??如果M是一個有限生成左 （中山引理）。
??J(R) 包含R的每個詣零理想（nil ideal）。如果R是左或右阿廷環，則 J(R) 是一個冪零理想（nilpotent ideal）。注意，但是一般雅各布森根不必由環中冪零元素組成。
??R是半單環當且僅當它是阿廷環且其雅各布森根為零。
參考資料 >