域F稱為代數(shù)閉域，如果對于任何系數(shù)屬于F的一元多項式f(x)，f(x)在F中至少有一個根。
正文
等價定義：域F稱為代數(shù)閉域，如果對于任何系數(shù)屬于F的一元多項式f(x)，f(x)的所有跟皆在F中。
舉例說明，實(shí)數(shù)域R并非代數(shù)閉域，因?yàn)閷?shí)系數(shù)多項式x^2+ 1 = 0無實(shí)根：
同理可證有理數(shù)域Q非代數(shù)閉域。此外，有限域也不是代數(shù)閉域，因?yàn)槿袅谐鯢的所有元素，則多項式(x-a1)(x-a2)(x-a3)……(x-an)+1在F中沒有根：
而復(fù)數(shù)域C則是代數(shù)閉域；這是代數(shù)基本定理的內(nèi)容。另一個代數(shù)閉域之例子是代數(shù)數(shù)域A。（代數(shù)數(shù)域是所有Q上的代數(shù)數(shù)全體所構(gòu)成的域）
等價的刻劃
給定一個域F，其代數(shù)封閉性與下列每一個性質(zhì)等價：
不可約多項式當(dāng)且僅當(dāng)一次多項式
域F是代數(shù)閉域，當(dāng)且僅當(dāng)環(huán)F[x]中的不可約多項式是而且只能是一次多項式。
“一次多項式是不可約的”的斷言對于任何域都是正確的。如果F是代數(shù)閉域，p(x)是F[x]的一個不可約多項式，那么它有某個根a，因此p(x)是x ? a的一個倍數(shù)。由于p(x)是不可約的，這意味著對于某個k ∈ F \ {0}，有p(x) = k(x ? a)。另一方面，如果F不是代數(shù)閉域，那么存在F[x]內(nèi)的某個非常數(shù)多項式p(x)在F內(nèi)沒有根。設(shè)q(x)為p(x)的某個不可約因子。由于p(x)在F內(nèi)沒有根，因此q(x)在F內(nèi)也沒有根。所以，q(x)的次數(shù)大于一，因?yàn)槊恳粋€一次多項式在F內(nèi)都有一個根。
每一個多項式都是一次多項式的乘積
域F是代數(shù)閉域，當(dāng)且僅當(dāng)每一個系數(shù)位于次數(shù)F內(nèi)的n ≥ 1的多項式p(x)都可以分解成線性因子。也就是說，存在域F的元素k， x1， x2， ……， xn，使得p(x) = k(x ? x1)(x ? x2) ··· (x ? xn)。
如果F具有這個性質(zhì)，那么顯然F[x]內(nèi)的每一個非常數(shù)多項式在F內(nèi)都有根；也就是說，F(xiàn)是代數(shù)閉域。另一方面，如果F是代數(shù)閉域，那么根據(jù)前一個性質(zhì)，以及對于任何域K，任何K[x]內(nèi)的多項式都可以寫成不可約多項式的乘積，推出這個性質(zhì)對F成立。
Fn的每一個自同態(tài)都有特征向量
域F是代數(shù)閉域，當(dāng)且僅當(dāng)對于每一個自然數(shù)n，任何從F到它本身的線性映射都有某個特征向量。
F^n的自同態(tài)具有特征向量，當(dāng)且僅當(dāng)它的特征多項式具有某個根。因此，如果F是代數(shù)閉域，每一個F^n的自同態(tài)都有特征向量。另一方面，如果每一個F^n的自同態(tài)都有特征向量，設(shè)p(x)為F[x]的一個元素。除以它的首項系數(shù)，我們便得到了另外一個多項式q(x)，它有根當(dāng)且僅當(dāng)p(x)有根。但如果q(x) = x^n+ an-1x^n-1+ ··· + a0，那么q(x)是以下友矩陣的特征多項式：
0 0 0……0 -a01 0 0……0 -a10 1 0……0 -a2
有理表達(dá)式的分解
域F是代數(shù)閉域，當(dāng)且僅當(dāng)每一個系數(shù)位于F內(nèi)的一元有理函數(shù)都可以寫成一個多項式函數(shù)與若干個形為a/(x ? b)^n的有理函數(shù)之和，其中n是自然數(shù)，a和b是F的元素。
如果F是代數(shù)閉域，那么由于F[x]內(nèi)的不可約多項式都是一次的，根據(jù)部分分式分解的定理，以上的性質(zhì)成立。
而另一方面，假設(shè)以上的性質(zhì)對于域F成立。設(shè)p(x)為F[x]內(nèi)的一個不可約元素。那么有理函數(shù)1/p可以寫成多項式函數(shù)q與若干個形為a/(x ? b)^n的有理函數(shù)之和。因此，有理表達(dá)式
可以寫成兩個多項式的商，其中分母是一次多項式的乘積。由于p(x)是不可約的，它一定能整除這個乘積，因此它也一定是一個一次多項式。
代數(shù)閉包
設(shè)為代數(shù)擴(kuò)張，且E是代數(shù)閉域，則稱E是F的一個代數(shù)閉包。可以視之為包含F(xiàn)的最小的代數(shù)閉域。
若我們承認(rèn)佐恩引理（或其任一等價陳述），則任何域都有代數(shù)閉包。設(shè)E,E'為任兩個F的代數(shù)閉包，則存在環(huán)同構(gòu)使得σ | F = idF；代數(shù)閉包在此意義上是唯一的，通常記作 F 或。
參考資料 >