子群（英文：subgroup），是群的特殊的非空子集。如果群G的一個非空子集H對于G的運算也成為一個群，那么稱H為G的一個子群，記做H 群的思想最早可見于古希臘數學家歐幾里得（Euclid）的著作《幾何原本》中，但并沒有真正出現群的概念。18世紀代數學從屬于分析，約瑟夫·拉格朗日（Lagrange）在討論代數方程根之間的置換時，已有置換群的概念。后來，1830年法國數學家埃瓦里斯特·伽羅瓦（Evariste Galois）在專業意義上第一次使用“群”這個術語，并在之后把“群”一詞和排列置換聯系起來，用“相似的（semblable）”這一術語，給出子群的概念，描述子群與陪集的關系，進一步通過“相似且相同（semblables et identiques）”給出正規子群的概念。 子群具有一些基本性質，如任何一個非單位元群至少有兩個子群，它自身以及由單位元作成的單位元群等。常見的子群有極大子群、極小子群和正規子群等，由生成子群的構造方法可得到一類重要的子群。子群在現實世界中具有廣泛的應用價值，例如在機器人領域，機器人的變換可以根據無限連續群的分類法分成幾種基本類，子群元素的乘可用于描述機器人的位移變換；在經典力學中，空間中一切位移的集合成群，取一部分位移的集合也可能成群（均指關于位移的積運算），即形成位移集合群的子群。 一個群是指·個非空集合，它滿足下列4個條件： (1)在上定義了一個(二元)代數運算； (2) 上的運算適合結合律； (3)中有一個元素，具有性質：,，稱是的單位元素； (4)中每一個元素都有逆元。 如果群的一個非空子集對于的運算也成為一個群，那么稱為的一個子群，記做。若子群則稱為的真子群，記為 群的思想最早可見于古希臘數學家歐幾里得（Euclid）的著作《幾何原本》中，但并沒有真正出現群的概念。18世紀代數學從屬于分析，約瑟夫·拉格朗日（Lagrange）在討論代數方程根之間的置換時，已有置換群的概念。直到1830年，法國數學家埃瓦里斯特·伽羅瓦（Evariste Galois）在專業意義上第一次使用“群”這個術語，并在之后把“群”一詞和排列置換聯系起來，用“相似的（semblable）”這一術語，給出了子群的概念，描述了子群與陪集的關系。在伽羅瓦草稿的一段文字中，解釋了“相似的”一詞的意義：“把諸如此類的一個排列系統稱為群。我們將用來表示這個集合。是用替換對整個群作用時生成的群。這將被稱為相似的（semblable）。一個群可以與另一個完全不同，但卻具有相同的替換。一般而言，這個群將不會是”后來，埃瓦里斯特·伽羅瓦進一步通過“相似且相同（semblables et identiques）”給出了正規子群的概念。 設是群的一個子群，由定義可得子群有以下一些常見性質： 群中一種重要的等價關系。設是群的兩個非空子集,是的子群，若存在中元素使得 則稱和關于共軛，其中稱為按的變形。若為的子群,稱為關于的共軛子群；若為一個元的集合，則稱為關于的共軛元。設是群的一個子集，是的一個子群，與關于共軛的所有子集組成的集合稱為關于的共軛類。當為一個元素的集合,關于的共軛類是元素的集合，簡稱(的元素）的一個共軛類。 陪集的定義：設是群的一個子群，對于中任一元素稱集合為的一個左陪集，簡記為因為中有單位元素，所以同樣地。可以定義右陪集為 可知,是子群到左陪集的一個一一對應，同樣地,是子群到右陪集的一個一一對應。因此，每個左（右）陪集與有一樣多的元素。 故由陪集的定義可得：設是群的一個子群,的任意兩個左（右）陪集或者相等或者無公共元素。群可以表示成若干個不相交的左（右）陪集之并。 定義：在群中,若存在元素使得對任意都有則稱為循環群，記為并稱為該循環群的一個生成元。的所有生成元的集合稱為的生成集。 由定義可得：設是階循環群，則 (1)的每一個子群都是循環群； (2)對于的階的每一個正因數都存在唯一的一個階子群，它們就是的全部子群； 子群檢驗：群的非空子集是子群當且僅當從可推出 證明：先證必要性，由定義可知，如果是群的一個子群，那么任給有設是的單位元，則兩邊右乘在中的逆元得,由此得出,又由于因此這表明群的單位元是的子群的單位元。任給設在中的逆元為則從中看此式得,因此綜述，如果是群的一個子群，那么從可推出 再證充分性，由于非空集，因此存在由已知條件得任給由已知條件得,于是任給由已知條件和已證明的結論得,于是因此群的運算是的運算。由于群的運算滿足結合律，因此它在中的限制也滿足結合律。上面已證的單位元從而有單位元且任給有因此在中有逆元綜上所述,是一個群，從而是的子群。 若是群的一個非空子集，則包含的的所有子群的交仍是的一個子群，稱它為由生成的子群，記為 是中含的最小子群，它由中形如的元的全體構成。特別地，當時，子群稱為諸子群所生成的子群，記為當只有子群時，記為若則稱為的生成元集,中元為的生成元。特別地，當時,中元稱為的生成元。若是有限集時，則稱為有限生成的，有限群是有限生成的群。 群中，僅由單位元素組成的子集是的一個子群;本身也是的子群.稱為的平凡子群（trivial subgroups）。群的其余子群稱為非平凡子群（nontrivial subgroup）。 任何一個非單位元群至少有兩個子群,自身以及由單位元作成的單位元群 在包含的意義下極大的真子群，它是群的真子群且與之間無的其他真子群。若是群的真子群，并且對于的真子群由得出則稱是的極大子群。 極大子群的對偶概念，指在包含的意義下，群的最小的非平凡真子群。它是群的真子群且除了單位元群為真子群以外無其他真子群。若是群的真子群,并且對于的真子群由得出或則稱是的極小子群。 正規子群的定義：設是群的子群，如果對任意都有則稱是的正規子群，亦稱不變子群，記為 子群是的正規子群的充分必要條件：對于任意的有 顯然，兩個平凡子群和是的正規子群。 設是群到群的一個滿同態,是的一個正規子群， 若(在中的原像），則是群的正規子群，且 若是群的正規子群,是的子群，則是群的含的子群，是的正規子群，且在映射下，有 若是群的正規子群,則是的正規子群，且 有限群的階一定被它的任意子群的階所等分，即是整數，稱為內的指數,正好是關于的一切不同左（右）陪集的個數。 由拉格朗日定理，可得以下推論： 設群的階為其中為素數,則對于中必有階子群，其中階子群（即的最高方冪階子群）稱為的西羅子群。 設群的階為其中為素數,則 設群的階為其中為素數,則的西羅子群的個數模同余于并且是的因子，即 模糊代數是模糊數學的一個分支，將模糊集理論應用到群論上，可得到反模糊子群的概念。 設為的模糊子集，若對任意的滿足： 1. 2. 則稱為的一個反模糊子群。 設與分別為與的反模糊子群，如果存在到的同態滿射滿足： 1)則稱與弱同態，記為 2)則稱與同態，記為 3)且為同構映射，則稱與同構，記為 由上述可得出以下一些結論： 1.設與分別為的反模糊子群與反模糊正規子群，則 2.設為到的同態滿射,與分別為的反模糊子群與反模糊正規子群，如果則其中 3.設為群的同態滿射,與分別為的反模糊子群與反模糊正規子群，若為不變的，則 經典力學的主要任務是歸納宏觀世界機械運動所遵循的基本規律，用以確定物體的運動狀況，或作用在其上的某些力的性質。考慮空間中一切位移的集合，若，且為位移與之積，則，即表示集合關于位移的積運算是封閉的，即滿足群公理，一切位移之集合關于位移之積運算是成群的，稱為位移群。空間中一切位移之集合成群，取一部分位移的集合也可能成群（均指關于位移之積運算），即形成位移群的子群。 剛體定義為一種被完全約束的質點系統，所有各質點之間的距離在整個運動中都保持不變，這表明剛體的一切運動之集合關于位移之積運算是封閉的；由于剛體運動是位移，而位移之集合成群，故作為的子集，滿足結合律；使剛體完成不動的運動可看作是一個恒等運動，可充當的單位元；每個剛體運動都有逆運動，即將剛體從乙位置還原為甲位置的運動，可以看作是從甲位置到乙位置的運動的逆運動。 即滿足群公理。于是，剛體的一切運動的集合成群，叫做剛體運動群。該群是位移群的一個子群。 承諾方案是一種基本且用途廣泛的密碼學原語，可應用在數學簽名方案、電子支付協議、零知識協議以及安全多方計算協議等方面。大多數有效承諾方案的構造都可納入單向群同態這一框架，但單向性的要求較高，使得在實例化時可供選擇的群結構受到限制。 基于合數階雙線性群與子群判定假設，分別構造完全隱藏的陷門承諾方案及無條件綁定的承諾方案，在子群判定假設下兩個承諾方案分別是計算上綁定和計算上隱藏的。由于構造并不依賴于單向性，為構造承諾方案提供一條新途徑。此外，由于雙線性群支持雙線性映射，所構造的承諾方案不僅具備通常的線性同態性質外，還具備特有的乘性同態性質。 在機器人領域，群論主要應用在機器人運動學的研究中。從群論的角度來看，機器人的位置無論是用矢量表示，還是用旋量表示，或以四元數，雙四元數等其他形式表示，其運動變換可以看作是群運算。在變換過程中，連桿的內部結構不變，其變換可以看作是歐幾里德群的子群。在機器人運動學中，若采用群描述機器人的運動，可以使表達更簡潔更通用。利用群論描述機器人運動還便于設計通用的機器人語言，在機器人操作中，操作物體通常是對稱的或具有對稱的特性，群可以方便地描述其中的相對關系。 機器人的變換可以根據無限連續群的分類法分成幾種基本類，子群元素的乘可用于描述機器人的位移變換。除運動變換外，子群還能用來表示機器人運動的約束，應用連續群理論對機構進行合理的分類，計算機器人末端的可能的運動。 參考資料 >定義
群
子群的定義
簡史
性質
相關概念
共軛
陪集
循環群
判別方法
子群判定
生成子群
常見子群
平凡和非平凡子群
極大子群
極小子群
正規子群
相關定理
群的同構定理
第一同構定理
第二同構定理
第三同構定理
拉格朗日定理
西羅定理
西羅第一定理
西羅第二定理
西羅第三定理
推廣
反模糊子群
定義
(λ,μ) 反模糊子群的同態與同構
應用
物理學
信息科技
自動化技術