微分幾何中，第二基本形式（second Fundamental form）是三維歐幾里得空間中一個光滑曲面的切叢上一個二次形式，通常記作 II。與第一基本形式一起，他們可定義曲面的外部不變量，主曲率。更一般地，若在黎曼流形中一個光滑超曲面上選取了一個光滑單位法向量場，則可定義這樣一個二形式。
在曲面中
引論
中一個參數曲面S的第二基本形式由gaussian引入。最先假設曲面是兩次連續可微函數的像，，且平面與曲面在原點相切。則f以及關于x和y的偏導數在 (0,0) 皆為零。從而f在 (0,0) 處的泰勒展開以二次項開始：
高階項，則在 (x,y) 坐標中在原點處的第二基本形式是二次型：
對S上一個光滑點p，總可以選取坐標系使得坐標的z-平面與S切于p，然后可以相同的方式定義第二基本形式。
經典記號
一個一般參數曲面的第二基本形式定義如下。設 是R中一個正則參數曲面，這里r是兩個變量的光滑向量值函數。通常記r關于u和v的偏導數為與。參數化的正則性意味著 與 對r的定義域中任何 是線性無關的。等價地，叉積是曲面的一個非零法向量。參數化這樣就定義了一個單位法向量場n：第二基本形式通常寫成
在基下的矩陣是
在參數化uv-平面上一個給定點處系數L,M,N由r在那個點的二次偏導數到S的法線上投影給出，利用點積可計算如下：
現代記法
一個通常曲面S的第二基本形式定義如下：設 是R中一個正則參數曲面，這里r是兩個變量的光滑向量值函數。通常記r關于u的偏導數為，。參數化的正則性意味著與在r的定義域上是線性無關的，從而在每一點張成S的切空間。等價地，叉積 是曲面的一個非零法向量。這樣參數化定義了一個單位法向量場n：
第二基本形式通常寫作
上式使用了愛因斯坦求和約定。
在參數-曲面給定點處系數由r的二次偏導數到S的法線的投影給出，利用點積可寫成：
黎曼流形中
在歐幾里得空間中，第二基本形式由
給出，這里v是高斯映射，而dv是v的導數視為一個向量值微分形式，括號表示歐幾里得空間的度量張量。
更一般地，在一個黎曼流形上，第二基本形式是描述一個超曲面形算子（記作S）的等價方法，
這里表示周圍空間的共變導數，n超曲面上一個法向量場。如果仿射聯絡是無撓的，則第二基本形式是對稱的。
第二基本形式的符號取決于n的方向的選取。（這稱為曲面的余定向，對歐幾里得空間中的曲面，等價于給定曲面的一個定向）。
推廣為任意余維數
第二基本形式可以推廣到任意余維數。在這種情形下，它是切空間上取值于法叢的一個二次型，可以定義為
這里表示共變導數到法叢的正交投影。
這叫做高斯方程，可以視為高斯絕妙定理的推廣。在一個標準正交基中第二基本形式的本征值，是曲面的主曲率。一組正交規范本征向量稱為主方向。
對一般的黎曼流形必須添加周圍空間的曲率；如果N是嵌入黎曼流形(M,g) 中一個流形，則N在誘導度量下的曲率張量可以用第二基本形式與M的曲率張量 表示出來：
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??高斯-科達齊方程
參考資料 >