在數(shù)學(xué)中，擺線（Cycloid）被定義為，一個(gè)圓沿一條直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，圓邊界上一定點(diǎn)所形成的軌跡。它是一般旋輪線的一種。此外，當(dāng)動(dòng)圓（稱為母圓）在同一平面內(nèi)的另一圓周上作無滑動(dòng)滾動(dòng)時(shí)，動(dòng)圓上任意一點(diǎn)形成的軌跡也屬于擺線類型。
擺線也是最速降線問題和等時(shí)降落問題的解。
別稱
一個(gè)圓在一條定直線上滾動(dòng)時(shí)，圓周上一個(gè)定點(diǎn)的軌跡，又稱圓滾線、旋輪線。
圓上定點(diǎn)的初始位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，定直線為x軸。當(dāng)圓滾動(dòng)j 角以后，圓上定點(diǎn)從 O 點(diǎn)位置到達(dá)P點(diǎn)位置。當(dāng)圓滾動(dòng)一周，即 j從O變動(dòng)2π時(shí)，動(dòng)圓上定點(diǎn)描畫出擺線的第一拱。再向前滾動(dòng)一周，動(dòng)圓上定點(diǎn)描畫出第二拱，繼續(xù)滾動(dòng)，可得第三拱，第四拱……，所有這些拱的形狀都是完全相同的，每一拱的拱高為2a（即圓的直徑），拱寬為2πa（即圓的周長）。
性質(zhì)
到17 世紀(jì)，人們發(fā)現(xiàn)擺線具有如下性質(zhì)：
1．?dāng)[線的長度等于旋轉(zhuǎn)圓直徑的 4 倍。尤為令人感興趣的是，它的長度是 一個(gè)不依賴于π的有理數(shù)。
2．在弧線下的面積，是旋轉(zhuǎn)圓面積的三倍。
3．圓上描出擺線的那個(gè)點(diǎn)，具有不同的速度——事實(shí)上，在特定的地方它甚至是靜止的。
4．當(dāng)彈子從一個(gè)擺線形狀的容器的不同點(diǎn)放開時(shí)，它們會(huì)同時(shí)到達(dá)底部。
方程式
方程: ； ，r為圓的半徑，t是圓的半徑所經(jīng)過的弧度（滾動(dòng)角），當(dāng)t由0變到2π時(shí)，動(dòng)點(diǎn)就畫出了擺線的一支，稱為一拱。
歷史
擺線最早出現(xiàn)可見于公元 1501 年出版的 C·鮑威爾的一本書中．但在 17 世 紀(jì)，大批卓越的數(shù)學(xué)家（如伽利略·伽利萊，帕斯卡，埃萬杰利斯塔·托里拆利，勒內(nèi)·笛卡爾，皮耶·德·費(fèi)瑪，伍任，瓦里斯，克里斯蒂安·惠更斯，約翰·白努利，戈特弗里德·萊布尼茨，艾薩克·牛頓等等）熱心于研究這一曲線的性質(zhì)．17 世紀(jì)是人們對數(shù)學(xué)力學(xué)和數(shù)學(xué)運(yùn)動(dòng)學(xué)愛好的年代，這能解釋人們?yōu)槭裁磳[線懷有強(qiáng)烈的興趣。在這一時(shí)期，伴隨著許多發(fā)現(xiàn)，也出現(xiàn)了眾多有關(guān)發(fā)現(xiàn)權(quán)的爭議，剽竊的指責(zé)，以及抹煞他人工作的現(xiàn)象。這樣，作為一種結(jié)果，擺線被貼上了引發(fā)爭議的“金蘋果”和“幾何的海倫”的標(biāo)簽。
擺線的研究最初開始于庫薩的尼古拉，之后馬林·梅森也有針對擺線的研究。1599年伽利略·伽利萊為擺線命名。1634年吉勒斯·德·羅貝瓦勒指出擺線下方的面積是生成它的圓面積的三倍。1658年克里斯托弗·雷恩也向人們指出擺線的長度是生成它的圓直徑的四倍。在這一時(shí)期，伴隨著許多發(fā)現(xiàn)，也出現(xiàn)了眾多有關(guān)發(fā)現(xiàn)權(quán)的爭議，甚至抹殺他人工作的現(xiàn)象，而因此擺線也被人們稱作“幾何學(xué)中的海倫”（The Helen of Geometers）。
故事
時(shí)鐘
時(shí)鐘已變成現(xiàn)代人不可或少的必備工具之一，沒有時(shí)鐘，人們將不知時(shí)間，許多重要的約會(huì)便會(huì)錯(cuò)過，當(dāng)各位在看表的時(shí)候，不知可曾想過，時(shí)鐘里面隱藏了些甚么道理，一砂一世界，許多我們視為理所當(dāng)然的事都是先民流血流汗一點(diǎn)一滴累積而成的。
在時(shí)鐘里面到底隱藏了什么東西 將這些理論寫出來可是厚厚的一大本呢！回想以前的中世紀(jì)航海時(shí)代，時(shí)間的掌握是關(guān)乎全船人生命安危的大事，想要和大海搏斗，時(shí)間是不可或缺的因素，古時(shí)候是以沙漏水鐘來計(jì)時(shí)，但這些計(jì)時(shí)工具相當(dāng)不準(zhǔn)確，為了增加船員生存的機(jī)會(huì)，發(fā)明精確的計(jì)時(shí)器變成了當(dāng)時(shí)科學(xué)界的當(dāng)務(wù)之急。
那時(shí)在意大利有一位年輕的科學(xué)家伽利略·伽利萊，有一次在比薩斜塔處意外地發(fā)現(xiàn)一個(gè)有趣的現(xiàn)象，教堂的吊燈來回?cái)[動(dòng)時(shí)，不管擺動(dòng)的幅度大還是小，每擺動(dòng)一次用的時(shí)間都相等。當(dāng)時(shí)，他是以自己的心跳脈搏來計(jì)算時(shí)間的。從此以后，伽利略便廢寢忘食的研究起物理和數(shù)學(xué)來，他曾用自行制的滴漏來重新做單擺的試驗(yàn)，結(jié)果證明了單擺擺動(dòng)的時(shí)間跟擺幅沒有關(guān)系，只跟單擺擺線的長度有關(guān).這個(gè)現(xiàn)象使伽利略想到或許可以利用單擺來制作精確的時(shí)鐘，但他始終并沒有將理想付之實(shí)行。
伽利略的發(fā)現(xiàn)振奮了科學(xué)界，可是不久便發(fā)現(xiàn)單擺的擺動(dòng)周期也不完全相等。原來，伽利略·伽利萊的觀察和實(shí)驗(yàn)還不夠精確。實(shí)際上，擺的擺幅愈大，擺動(dòng)周期就愈長，只不過這種周期的變化是很小的。所以，如果用這種擺來制作時(shí)鐘，擺的振幅會(huì)因?yàn)槟Σ梁涂諝庾枇Χ鷣碛。瑫r(shí)鐘也因此愈走愈快。
過了不久，荷蘭科學(xué)家克里斯蒂安·惠更斯決定要做出一個(gè)精確的時(shí)鐘來。伽利略的單擺是在一段圓弧上擺動(dòng)的，所以我們也叫做圓周擺。惠更斯想要找出一條曲線，使擺沿著這樣的曲線擺動(dòng)時(shí)，擺動(dòng)周期完全與擺幅無關(guān)，這群科學(xué)家放棄了物理實(shí)驗(yàn)，純粹往數(shù)學(xué)曲線上去研究，經(jīng)過不少次的失敗，這樣的曲線終於找到了，數(shù)學(xué)上把這種曲線叫做“擺線”，“等時(shí)曲線”或“旋輪線”。
動(dòng)手驗(yàn)證
如果你用硬紙板剪一個(gè)圓，在圓的邊緣固定一枝鉛筆，當(dāng)這圓沿一條直線滾動(dòng)時(shí)，鉛筆便會(huì)畫出一條擺線來。相信這樣的玩具許多人都已經(jīng)看過玩過，以前的街上，常會(huì)看到街邊小販在兜售這種擺線玩具，許多人贊嘆擺線的美麗，但卻不知擺線與時(shí)鐘的相關(guān)性。鐘表店里面那些有鐘擺的時(shí)鐘，都是利用擺線性質(zhì)制作出來的。由于擺線的發(fā)現(xiàn)，使得精確時(shí)鐘的制作不是夢想。這也使人類科技向前邁進(jìn)一大步。
基本原理
擺線針輪行星傳動(dòng)中，擺線輪齒廓曲線運(yùn)用內(nèi)嚙合發(fā)生圓產(chǎn)生的短幅外擺線。
有一發(fā)生圓（滾圓）半徑為rp'，基圓半徑為rc'，基圓內(nèi)切于發(fā)生圓，當(dāng)發(fā)生圓繞基圓作純滾動(dòng)，其圓心Op分別處于......各位置時(shí)，由此固結(jié)在發(fā)生圓平面上的點(diǎn)M分別經(jīng)過......各位置，由此發(fā)生圓周期滾動(dòng)，發(fā)生圓上點(diǎn)M所形成的軌跡曲線即為短幅外擺線。
由以上擺線生成的幾何關(guān)系 若仍保持以上的內(nèi)切滾動(dòng)關(guān)系，將基圓和擺線視為剛體相對于發(fā)生圓運(yùn)動(dòng)，則形成了擺線圖形相對發(fā)生圓圓心Op作行星方式的運(yùn)動(dòng)，這就是行星擺線傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的基本原理。
最速降線
在一個(gè)斜面上，擺兩條軌道，一條是直線，一條是曲線，起點(diǎn)高度以及終點(diǎn)高度都相同。兩個(gè)質(zhì)量、大小一樣的小球同時(shí)從起點(diǎn)向下滑落，曲線的小球反而先到終點(diǎn)。這是由于曲線軌道上的小球先達(dá)到最高速度，所以先到達(dá)。然而，兩點(diǎn)之間的直線只有一條，曲線卻有無數(shù)條，那么，哪一條才是最快的呢？伽利略·伽利萊于1630年提出了這個(gè)問題，當(dāng)時(shí)他認(rèn)為這條線應(yīng)該是一條弧線，可是后來人們發(fā)現(xiàn)這個(gè)答案是錯(cuò)誤的。1696年，瑞士數(shù)學(xué)家約翰·白努利解決了這個(gè)問題，他還拿這個(gè)問題向其他數(shù)學(xué)家提出了公開挑戰(zhàn)。牛頓、戈特弗里德·萊布尼茨、洛比達(dá)以及雅克布·伯努利等解決了這個(gè)問題。這條最速降線就是一條擺線，也叫旋輪線。
意大利科學(xué)家伽利略在1630年提出一個(gè)數(shù)學(xué)分析的基本問題——“一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在重力作用下，從一個(gè)給定點(diǎn)到不在它垂直下方的另一點(diǎn)，如果不計(jì)摩擦力，問沿著什么曲線滑下所需時(shí)間最短。”。他說這曲線是圓，可是這是一個(gè)錯(cuò)誤的答案。
瑞士數(shù)學(xué)家約翰．伯努利在1696年再提出這個(gè)最速降線的問題（problem of brachistochrone），征求解答。次年已有多位數(shù)學(xué)家得到正確答案，其中包括艾薩克·牛頓、戈特弗里德·萊布尼茨、洛必達(dá)和伯努利家族的成員。這問題的正確答案是連接兩個(gè)點(diǎn)上凹的唯一一段旋輪線。
旋輪線與1673年荷蘭科學(xué)家克里斯蒂安·惠更斯討論的擺線相同。因?yàn)殓姳頂[錘作一次完全擺動(dòng)所用的時(shí)間相等，所以擺線（旋輪線）又稱等時(shí)曲線。
看Johann Bernoulli 對最速降線問題的beautiful解答：
如果使分成的層數(shù)n無限地增加，即每層的厚度無限地變薄，則質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)便趨于空間A、B兩點(diǎn)間質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的真實(shí)情況，此時(shí)折線也就無限增多，其形狀就趨近我們所要求的曲線——最速降線．而折線的每一段趨向于曲線的切線，因而得出最速降線的一個(gè)重要性質(zhì)：任意一點(diǎn)上切線和鉛垂線所成的角度的正弦與該點(diǎn)落下的高度的平方根的比是常數(shù)．而具有這種性質(zhì)的曲線就是擺線．所謂擺線，它是一個(gè)圓沿著一條直線滾動(dòng)（無滑動(dòng)）時(shí)，圓周上任意一點(diǎn)的軌跡。
因此，最速降線就是擺線，只不過在最速降線問題中，這條擺線是上、下顛倒過來的罷了．
以上便是Johann Bernoulli當(dāng)時(shí)所給最速降線問題的解答．當(dāng)然，這個(gè)解答在理論上并不算十分嚴(yán)謹(jǐn)?shù)模牵@個(gè)解答所蘊(yùn)含的基本觀點(diǎn)的發(fā)展，導(dǎo)致了一門新的學(xué)科——變分學(xué)．最速降線問題的最終而完備的解答，需要用到變分學(xué)的知識(shí)．
證明式
過原點(diǎn)半徑為r的擺線參數(shù)方程為
在這里實(shí)參數(shù)t是在弧度制下，圓滾動(dòng)的角度。對每一個(gè)給出的t，圓心的坐標(biāo)為(rt, r)。通過替換解出t可以求的笛卡爾坐標(biāo)方程為
擺線的第一道拱由參數(shù)t在(0, 2π)區(qū)間內(nèi)的點(diǎn)組成。
擺線也滿足下面的微分方程。
面積
一條由半徑為r的圓所生成的拱形面積可以由下面的參數(shù)方程界定：
于是可以求得
弧長
弧形的長度可以由下面的式子計(jì)算出：
參考資料 >
圓滾線.科普中國.2025-11-12