二階導數是一階導數的導數，從原理上，它表示一階導數的變化率；從圖形上看，它反映的是函數圖像的凹凸性。
代數記法
二階導數記作即。
例如：的導數為，二階導數即的導數為。
幾何意義
（2）函數的凹凸性（例如加速度的方向總是指向軌跡曲線凹的一側）。
這里以物理學中的瞬時加速度為例:
根據定義有
可如果加速度并不是恒定的，某點的加速度表達式就為：
(即速度對時間的一階導數)
又因為所以就有：
即元位移對時間的二階導數
將這種思想應用到函數中即是數學所謂的二階導數
(的一階導數）
(的二階導數)
定義
以導數定義法定義：如果函數?的導數?在x處可導，則稱?的導數為函數?在點x處的二階導數，記為。
以極限定義法定義：函數?在?處的二階導數?是導函數?在?處的導數，即
物理意義
以物理運動為例，我們知道，變速直線運動的速度u(t)?是位置函數s(t)?對時間t的導數，即
這種偏導數的導數?或?稱為?對的二階導數，記作
所以，直線運動的加速度就是位置函數是s(t)對時間t的二階導數。
性質
（1）如果一個函數在某個區間上有（即二階導數）>0恒成立，那么對于區間上的任意總有：，如果總有成立，那么上式的不等號反向。
幾何的直觀解釋：如果一個函數f(x)在某個區間I上有（即二階導數）>0恒成立，那么在區間上的圖象上的任意兩點連出的一條線段，這兩點之間的函數圖象都在該線段的下方，反之在該線段的上方。
（2）判斷函數極大值以及極小值。
結合一階、二階導數可以求函數的極值。當一階導數等于0，而二階導數大于0時，為極小值點。當一階導數等于0，而二階導數小于0時，為極大值點；當一階導數和二階導數都等于0時，為駐點。
（3）函數凹凸性。規定曲線在a點上凹為正，下凹為負（以下均如此設定），則凹向的正負與的正負一致。設在上連續，在內具有一階和二階導數，那么，
（1）若在內,則在上的圖形是凹的（上凹為正）；
（2）若在內,則在上的圖形是凸的（下凹為負）。
例題
解：用導數定義求解：
參考資料 >