設Σ為空間中的曲面，函數f(x,y,z)在Σ上有定義，把Σ任意地分成n個可求面積的小曲面片Si,其面積設為ΔSi，在每個小曲面片Si上任取一點(Xi,Yi,Zi) 作乘積f(Xi,Yi,Zi)ΔSi，并求和Σf(Xi,Yi,Zi)ΔSi，記λ=max(ΔSi的直徑)，若Σf(Xi,Yi,Zi)ΔSi當λ→0時的極限存在，且極限值與Σ的分法及取點（Xi,Yi,Zi）無關，則稱極限值為f（x,y,z）在Σ上對面積的曲面積分，也叫做第一類曲面積分。即為∫∫_Σ f(x,y,z)dS；其中f(x,y,z)叫做被積函數，Σ叫做積分曲面，dS叫做面積微元。
簡介
什么是曲面積分？
先看一個例子：設有一構件占空間曲面Σ，其質量分布密度函數為(密度分布)ρ（x,y,z），求構件的質量。
同樣，對于密度不均勻的物件，也不可以直接利用ρS（這里的S代表的是面積，下同）處理問題的思想方法類似于分布在平面區域的質量問題，就需要利用曲面積分；
，就是對面積的曲面積分。
曲面積分的類別：對面積的曲面積分（第一類曲面積分），其物理意義表現為對給定密度函數的空間曲面，計算該曲面的質量；對坐標軸的曲面積分（第二類曲面積分），主要用于對于給定的空間曲面和空間流體的流速場，計算單位時間流經曲面的總流量；對面積的曲面積分和對坐標軸的曲面積分是可以轉化的；兩類曲面積分的區別在于形式上積分元素的不同，第一類曲面積分的積分元素是面積元素dS,例如：在積分曲面Σ上的對面積的曲面積分：
；
而第二類曲面積分的積分元素是坐標平面dxdy,dydz或dxdz,例如：在積分曲面Σ上的對坐標平面的曲面積分：
；
兩種曲面積分之間的關系
兩種積分之間的轉化在于如何將空間曲面在坐標平面上投影；
設dS是積分曲面Σ上的面積元素。
設Σ的方程為，Σ在xOy平面上的投影區域D是有界閉區域，在D上具有連續的偏導數，于是：
，θ是面積元素dS和坐標平面的夾角；
積分曲面Σ上任意一點的法向量為（〥z/〥x，〥z/〥y,-1）(注：〥表示求偏導數，〥z/〥x表示z對x偏導數，是整體符號，下同）,xOy平面的法向量取（0，0，1）；
于是；
所以，Σ上的點為（x,y,z(x,y)）則∫∫f(x,y,z)dS存在，且在積分曲面Σ上的曲面積分有：
這樣就把對面積的曲面積分和對坐標軸的曲面積分的關系聯系起來了。
而對于這種類型的曲面積分，積分曲面可能需要同時向三個坐標平面 xOy,xOz,yOz投影，投影的方式和上面的方法一樣。實際上如果面積元素dS與三個坐標平面的夾角分別為α，β，γ，則有;
而α，β，γ的余弦是可以通過法向量的數量積求得的，所以可以寫成：
在向各個坐標平面投影的時候需要注意dS的有向性，即夾角的大小，在夾角大于π/2的時候，其余弦值是負的。
參考資料 >