同倫（英語：Homotopic）是代數拓撲的一個基本概念，描述了兩個拓撲空間之間的“連續變化”。如果兩個拓撲空間可以通過一系列連續的形變從一個變到另一個，那么這兩個空間同倫。同倫的概念不僅適用于空間，還適用于映射：如果兩個定義在拓撲空間之間的連續函數可以通過連續形變互相轉換，則這兩個函數稱為同倫的。同倫的一個重要應用是在定義同倫群和上同倫群，它們是代數拓撲中的重要不變量。
定義
設X和Y都是拓撲空間，f和g是X到Y的連續映射。如果存在連續映射H：X×I→Y，使得對任何x∈X，H(x,0)=f(x)，H(x,1)=g(x)，則稱f與g同倫，并稱H是連接f和g的一個同倫。這里I=[0,1]。如果我們將H的第二個參數視作時間，這樣H描述了一個從f到g的連續形變過程：在時間0時刻我們得到函數f，在時間1時刻我們得到函數g。
如果存在連續映射f：X→Y和g：Y→X，使得g·f與恒同映射idx：X→X同倫，f·g與恒同映射idy：Y→Y同倫，則稱X與Y同倫等價。稱f和g是同倫等價映射，g是f的一個同倫逆。
描述
在同倫變換下保持不變的性質，就稱為同倫不變量。比如虧格（洞眼的個數），歐拉示性數等等。但是維數就不是同倫不變量。同倫是關于映射的等價關系，同倫等價才是關于空間的等價關系。同倫關系滿足函數的復合：如果一級方程式錦標賽與g1同倫，f2與g2同倫，則它們的復合f2°f1與g2°g1也同倫。
同倫概念的產生
同倫和倫移的定義由brouwer于1911年給出，雖然它的直觀的觀念形變（deformation）早在lagrange時代的變分學中已經出現并被使用，或許還可以追溯到更早。
性質
同倫是X到Y上所有的連續函數之間的一種等價關系。在特定的空間中應用同倫時，代數拓撲學家一般使用緊生成空間、CW復形或譜等技術手段來解決技術上的困難。
例子
例一：考慮實數線上的兩個函數f(x)=1和g(x)=-1，它們通過函數H(x,t)=1-2t在實數線上同倫。例二：在單位區間[0,1]上定義的函數f(x)=e^(2iπx)和g(x)=0，通過函數H(x,t)=(1-t)e^(2iπx)同倫，其中f描繪一個單位圓，而g停在原點。
相對同倫
為定義高階基本群，必須考慮相對于一個子空間的同倫概念。這是指能在不變動該子空間的狀況下連續變化。設f,g:X→Y是連續函數，固定子空間K?X；若存在前述同倫映射H:X×[0,1]→Y，滿足對所有k∈K，H(k,t)=f(k)=g(k)，則稱f,g相對于K同倫。
空間同倫等價
給定兩個拓撲空間E與F，它們被稱為同倫等價，當且僅當存在兩個連續映射f:E→F和g:F→E，使得g°f同倫于E的恒等映射idE，f°g同倫于F的恒等映射idF。同胚蘊含同倫等價，但同倫等價不一定意味著同胚。例如，一個平面上的圓或橢圓同倫等價于去掉一點的平面，線段[a,b]、閉圓盤及閉球間兩兩同倫等價，它們皆同倫等價于一個點。同倫等價是拓撲空間之間的等價關系，許多代數拓撲學里的性質均在同倫等價下不變，包括單連通、同調群及上同調群等。
同痕
同痕（Isotopy）是同倫的加細版，要求所論的函數f:X→Y和g:X→Y是嵌入，并要求兩者間可用一族嵌入映射相連。同痕的概念在紐結理論中格外重要：若兩個結同痕，則我們視之相等，可以在不使結扯斷或相交的條件下彼此連續地變形。
參考資料 >