群是一種只有一個運算的、比較簡單的代數(shù)結(jié)構(gòu)；是可用來建立許多其他代數(shù)系統(tǒng)的一種基本結(jié)構(gòu)。基本群亦稱一維同倫群。同倫群(homotopy groups)是基本群的高維推廣。基本群是從單位閉區(qū)間I到拓?fù)淇臻gX的閉路的同倫等價類和其運算得到的。穩(wěn)定同倫群(stable homotopy group)是一種特殊的同倫群。
概念
穩(wěn)定同倫群(stable homotopy group)是一種特殊的同倫群。由于懸垂同態(tài)：
當(dāng)n>k+1時為同構(gòu)，所以存在。此極限稱為球面的第k個穩(wěn)定同倫群，記為G
群
群是一種只有一個運算的、比較簡單的代數(shù)結(jié)構(gòu)；是可用來建立許多其他代數(shù)系統(tǒng)的一種基本結(jié)構(gòu)。
設(shè)G為一個非空集合，a、b、c為它的任意元素。如果對G所定義的一種代數(shù)運算“·”(稱為“乘法”，運算結(jié)果稱為“乘積”)滿足：
(1)封閉性，a·b∈G;
(2)結(jié)合律，即(a·b)c = a·(b·c);
(3)對G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得日本電視臺= b，y·a=b，則稱G對于所定義的運算“·”構(gòu)成一個群。例如，所有不等于零的實數(shù)，關(guān)于通常的乘法構(gòu)成一個群；時針轉(zhuǎn)動(關(guān)于模12加法)，構(gòu)成一個群。
滿足交換律的群，稱為交換群。
群是數(shù)學(xué)最重要的概念之一，已滲透到現(xiàn)代數(shù)學(xué)的所有分支及其他學(xué)科中。凡是涉及對稱，就存在群。例如，可以用研究圖形在變換群下保持不變的性質(zhì)，來定義各種幾何學(xué)，即利用變換群對幾何學(xué)進(jìn)行分類。可以說，不了解群，就不可能理解現(xiàn)代數(shù)學(xué)。
1770年，拉格朗日在討論代數(shù)方程根之間的置換時，首先引入群的概念，而它的名稱，是埃瓦里斯特·伽羅瓦在1830年首先提出的。
同倫群
同倫群(homotopy groups)是基本群的高維推廣。基本群是從單位閉區(qū)間I到拓?fù)淇臻gX的閉路的同倫等價類和其運算得到的。考慮n維歐氏空間R中的n維方體：
是的邊界，即：
存在i使得，
設(shè)X為拓?fù)淇臻g，x∈X，用M(X，x)表示全體連續(xù)映射α：(，)→(X，x)所成的集合，α和α′相對于I的同倫關(guān)系αα′是M(X，x)上的一個等價關(guān)系，它把M(X，x)的元素分成一些同倫等價類，用π(X，x)表示這些等價類所成的集合。定義映射α*β：(I，I)→(X，x)，使得：
從而，α*β∈M(X，x)，并且，若α∽α′，β∽β′，則：
因此，可在π(X，x)中定義運算：
并且關(guān)于這一運算使它構(gòu)成群，仍記為π(X，x)，稱為拓?fù)淇臻gX的以x為基點的n維同倫群.1維同倫群就是基本群π(X，x).同倫群還有一種等價定義方式，它是用n維球面S代替n維方體I，這種定義給討論同倫群的性質(zhì)有時帶來方便。類似基本群的討論，同倫群具有性質(zhì)：當(dāng)拓?fù)淇臻g是道路連通空間時，其同倫群與基點選取無關(guān)；利用連續(xù)映射誘導(dǎo)的同倫群之間同態(tài)的一些性質(zhì)得出，同倫群是同倫型不變量(更是拓?fù)洳蛔兊?；當(dāng)n≥2時，同倫群π(X，x)是交換群，因而有時把運算寫成[α]+[β]。同倫群與同調(diào)群的一些基本關(guān)系：對于連通復(fù)形K的多面體|K|，1維同調(diào)群同構(gòu)于基本群的交換化，即：
這里[π(|K|)，π(|K|)]表示基本群π(|K|)的換位子群。高維同倫群與同調(diào)群之間的關(guān)系，由赫萊維茨(Hurewicz，W.)的同構(gòu)定理給出：設(shè)|K|是連通復(fù)形K的多面體，當(dāng)n≥2時，若|K|的1，2，…，n-1維同倫群都是平凡群，則π(|K|)xH(K)。
基本群
基本群亦稱一維同倫群。對一個拓?fù)淇臻g聯(lián)系一個群的代數(shù)結(jié)構(gòu)。在拓?fù)淇臻gX中對于以同一點x為基點的兩條閉道路α和β可引入乘法*：
α*β是一條以x為基點的閉道路。這種乘法不一定滿足結(jié)合律，無法引入群結(jié)構(gòu)。但是，在以x為基點所有閉路同倫類中，引入乘法：
[α]°[β]=[α*β]，
這種定義是有意義的，并且以x為基點的全體閉路同倫類在引入這種乘法后構(gòu)成一群，稱為X的以x為基點的基本群，記為π(X，x).基本群可以不是交換群。對于道路連通空間X，其基本群與基點的選取無關(guān)，記為π(X).對于兩個拓?fù)淇臻gX與Y之間的連續(xù)映射f：(X，p)→(Y，q)，它與X內(nèi)以p為基點的閉路α的復(fù)合映射f°α是Y內(nèi)以q為基點的閉路，并且兩條同倫的閉路與f的復(fù)合得出兩條同倫的閉路，因此，按照f([α])=[f°α]定義映射：
f： π(X，p)→π(Y，q)，
于是f為同態(tài)，稱為f誘導(dǎo)的同態(tài)。由此得出基本群是拓?fù)洳蛔兞浚M(jìn)而基本群也是同倫型不變量。
計算基本群常常是將所討論的空間“歸結(jié)”或“分解”為更簡單的空間以算出其基本群，這些常見的方法有：
1.利用基本群的同倫型不變性.
2.對于乘積空間可利用結(jié)論：當(dāng)X和Y為道路連通空間時，π(X×Y)π(X)×π(Y).
3.利用覆疊空間理論.
4.利用范卡彭定理：若K是連通的復(fù)形，K，K，K都是K的連通的子復(fù)形，使得
α是K的一個頂點，i和i分別是K的多面體|K|到K和K的多面體|K|和|K|的包含映射，則|K|的基本群π(|K|，a)可從π(|K|，a)與π(|K|，a)的自由乘積中添加關(guān)系i(z)=i(z)得到，其中z取遍π(|K|，a)的一切元素。
范卡彭定理適用于可剖分空間，并可推廣到更一般的加一定限制的拓?fù)淇臻g。例如，用以上方法可得到圓周S的基本群為π(S)Z，可縮空間的基本群為平凡群，默比烏斯(Mo¨bius，A.F.)帶M的基本群π(M)Z，環(huán)面T的基本群為π(T)Z×Z，n維球面S(n≥2)的基本群π(S)為平凡群，以及克萊因瓶K的基本群π(K){t，u|tut=u}(或{a，b|a=b})，這里Z表示整數(shù)加群。
參考資料 >