自由模（英文：free 模組），是模論的基本概念之一，其定義為：設(shè)R是一個(gè)有單位元1(≠0）的交換環(huán)，若M是一個(gè)R-模，且R模M有一基，則M叫做一個(gè)自由R-模。
環(huán)與模的關(guān)系密切，將一個(gè)域上的向量空間概念加以推廣，可得到環(huán)上模的概念。早在19世紀(jì)，德國(guó)數(shù)學(xué)家狄利克雷（Dirichlet）就考慮過(guò)多項(xiàng)式環(huán)上的模，但當(dāng)時(shí)并沒(méi)有模的概念。直到1871年，德國(guó)數(shù)學(xué)家戴德金（Dedekind）在出版的狄利克雷《數(shù)論講義 第二版》上對(duì)有理整數(shù)的同余理論進(jìn)行了推廣，提出模的概念并首先使用模的術(shù)語(yǔ)。隨后，許多學(xué)者對(duì)自由模與投射摸展開(kāi)研究，1955年，塞爾（Serre,J.P.）提出著名的塞爾猜測(cè)；1958年，卡普蘭斯基（Kaplansky,I.）得出結(jié)論：交換諾特局部環(huán)上每個(gè)有限生成的投射模是自由的。而對(duì)于自由模的素子模，王芳貴和宋傳寧等學(xué)者得出了有限自由模的素子模的結(jié)構(gòu)定理和自由模的素維數(shù)等相關(guān)理論。
自由模具有一些重要性質(zhì)，如若為一個(gè)有單位元的交換環(huán)，是一個(gè)有有限基的自由-模，則的一個(gè)基所含元素的個(gè)數(shù)稱為自由-模的秩。特殊環(huán)上的自由模性質(zhì)特殊，其在主理想整環(huán)上的性質(zhì)與有限生成模的標(biāo)準(zhǔn)分解定理和不變量定理有關(guān)，這些結(jié)論可以應(yīng)用于有限生成模的構(gòu)造。在模論中，投射模是比自由模更一般的模，它與平坦模和自由模是刻畫模范疇性質(zhì)的重要概念，三者之間有著緊密關(guān)聯(lián)。自由模在現(xiàn)實(shí)世界中也具備應(yīng)用價(jià)值，如在密碼學(xué)中，交換環(huán)上的自由?？捎糜谠O(shè)計(jì)一個(gè)更為一般的完善的秘密共享方案。
定義
模
模的定義：設(shè)是一個(gè)喬治·阿貝爾（Abel）加法群，是一個(gè)有單位元的環(huán)。如果到有一個(gè)映射：，并且滿足下列4條法則：，有
；
；
；
，
那么稱是環(huán)上的一個(gè)左?；蛞粋€(gè)左-模。
當(dāng)上述4條法則的乘法運(yùn)算一次交換律，即，類似地，可驗(yàn)證成為一個(gè)右-模，則稱是一個(gè)-模。
模的基：設(shè)為一個(gè)單位元的環(huán)，為一個(gè)-模，如果的任一非空子集，使得
(1)中每個(gè)元素能表示成中有限多個(gè)元素的-線性組合：，其中
；
(2)的任一有限子集是-線性無(wú)關(guān)的，即從可以推出；
那么稱是的一組基。
自由模
定義：若模有一基，則叫做一個(gè)自由-模。
一個(gè)?？偸强梢哉业揭唤M生成元，但不一定有基。例如，有限交換群作為一個(gè)-模，則不是自由模。
簡(jiǎn)史
1871年，德國(guó)數(shù)學(xué)家理查德·戴德金（Richard Dedekind）在出版的狄利克雷（P.G.L.Dirichlet）《數(shù)論講義 第二版》中引進(jìn)了代數(shù)數(shù)及代數(shù)整數(shù)的概念，在研究有理整系數(shù)代數(shù)方程的過(guò)程中定義了體（K?rper），隨后對(duì)有理整數(shù)的同余理論進(jìn)行了推廣，得出了模的概念，把模定義為：對(duì)加和減這兩種運(yùn)算均封閉的實(shí)數(shù)系或者復(fù)數(shù)系。1905年，拉斯克爾（E.Lasker）在著作《模和理想論》(Zur Theorie der Moduln und Ideale）中，介紹了模和環(huán)的理想等概念，并在戴德金的基礎(chǔ)上進(jìn)一步發(fā)展了模代數(shù)。
環(huán)與模范疇的關(guān)系密切，將一個(gè)域上的向量空間概念加以推廣，可得到環(huán)上模的概念，模范疇的性質(zhì)主要由一些模類如平坦模、投射模、自由模、內(nèi)射模等來(lái)刻畫。1955年，數(shù)學(xué)家塞爾（Serre,J.P.）提出著名的塞爾猜測(cè)是關(guān)于投射模與自由模的重要命題，后被奎倫（Quillen,D.G.）和蘇斯林（Cycm,M.A.）得以證明，并給出了更強(qiáng)的結(jié)果：當(dāng)環(huán)是主理想整環(huán)時(shí)，每個(gè)投射模都是自由模。1958年卡普蘭斯基（Kaplansky,I.）得出結(jié)論：交換諾特局部環(huán)上每個(gè)有限生成的投射模是自由的。后來(lái)，2003年，迪萊克（P.Y.Dilek）在《關(guān)于有限生成自由模的素?cái)?shù)子?！?On prime submodules of finitely generated free modules）中研究了交換整環(huán)中有限生成自由模的素子模。之后，對(duì)于自由模的素子模，許多學(xué)者對(duì)其開(kāi)展了相關(guān)研究工作，得出了有限自由模的素子模的結(jié)構(gòu)定理和自由模的素維數(shù)等相關(guān)理論。
舉例
1.對(duì)于任意一個(gè)正整數(shù)以及實(shí)數(shù)域，所有維實(shí)向量構(gòu)成的集合為一個(gè)自由-模；
2.矩陣環(huán)為一個(gè)自由-模，它以為一組基，它的維數(shù)為；
3.多項(xiàng)式環(huán)為一個(gè)自由-模，它以為一組基，它是無(wú)限維的；
4.采用標(biāo)準(zhǔn)記號(hào)，規(guī)定零模也為一個(gè)自由模，其生成集（基）為空集。
性質(zhì)
1.設(shè)為一個(gè)有單位元的交換環(huán)，是一個(gè)有有限基的自由-模，則的一個(gè)基所含元素的個(gè)數(shù)稱為自由-模的秩。零模是自由模，規(guī)定它的秩為。（自由模的秩）
2.對(duì)每個(gè)含幺環(huán)及每個(gè)非空集，總存在上的自由-模。（存在性）
3.令是非空集上一自由模，則也是上自由模當(dāng)且僅當(dāng)存在唯一的-同構(gòu)，使得。（唯一性）
4.設(shè)為一個(gè)自由-模，為它的一基，設(shè)為任一個(gè)-模，為的任一個(gè)子集，于是映射恒可唯一地?cái)U(kuò)充成到的一個(gè)-同態(tài)。
推論：設(shè)為一個(gè)以元素為基的自由模，則；
5.設(shè)為一個(gè)交換幺環(huán)，為一個(gè)自由-模，則的任意兩基有相同的基數(shù)。
推論：設(shè)為一個(gè)交換幺環(huán)，若和成模同構(gòu)，則；
6.設(shè)為一個(gè)自由-模，為兩個(gè)任意-模而且是任意一個(gè)滿同態(tài)，于是到的任一個(gè)模同態(tài)恒可提升為到的一個(gè)模同態(tài)使得，其中橫行表示是滿射。
推論：設(shè)是一個(gè)滿的模同態(tài)，若是一個(gè)自由模，則存在的一個(gè)子模使得。
相關(guān)概念
模的直和
設(shè)為同一個(gè)環(huán)上的模，首先作加法群，的直和，然后規(guī)定對(duì)的作用為：，對(duì)于，則成為一個(gè)-模。叫做-模 的直和，可簡(jiǎn)記為。
素子模
設(shè)是-模，是的子模，記，則是的理想，且當(dāng)且僅當(dāng)。若由能推出，或者，則稱的準(zhǔn)素子?；?準(zhǔn)素子模。當(dāng)時(shí)，準(zhǔn)素子模就稱為素子模，或-素子模。
特殊環(huán)上的自由模
首先給出扭模與無(wú)扭模的定義，它們描述了主理想整環(huán)上自由模的性質(zhì)。
定義：設(shè)是一-模，如果有使，則稱中元素稱為扭元素；如果不存在中非零元素使，則稱為自由的。如果中每個(gè)元素都是扭元素，則稱為扭模；如果中每個(gè)非零元素都是自由的，則稱為無(wú)扭模。
主理想整環(huán)
定義：有單位元的無(wú)零因子的交換環(huán)稱為整環(huán)。如果的每一個(gè)理想都是主理想，那么稱是一個(gè)主理想整環(huán)。
主理想整環(huán)上自由模的一些性質(zhì)：
1.設(shè)為一主理想環(huán)，為一自由-模，秩為。于是的任一子模也是自由-模，秩；
2.主理想環(huán)上無(wú)扭的有限生成模一定是自由模；
3.設(shè)是主理想環(huán)上一有限生成模，那么無(wú)扭，因而是自由的；
4.主理想環(huán)上任一有限生成模都可以分解成它的扭子模與一自由子模的直和，的秩是被唯一決定的。此外，該性質(zhì)還可應(yīng)用于構(gòu)造一個(gè)有限生成阿貝爾群。
相關(guān)定理
有限生成模分解
有限生成模的標(biāo)準(zhǔn)分解定理
第一標(biāo)準(zhǔn)分解：主理想環(huán)上任一有限生成模都可以分解成一自由子模與若干個(gè)循環(huán)模的直和，即，其中，為互不相伴的素元素，且。被唯一決定，稱為的秩。
唯一性：在第一標(biāo)準(zhǔn)分解中，自由子模的秩以及的零化子組是被唯一決定的。
第二標(biāo)準(zhǔn)分解：主理想環(huán)上任一有限生成模都可以分解成一自由子模與若干個(gè)循環(huán)模的直和，即，其中，且。
唯一性：在第二標(biāo)準(zhǔn)分解中，自由子模的秩與的零化子組是被唯一決定的。
上述結(jié)論可以用于整數(shù)環(huán)上有限生成模的構(gòu)造：設(shè)為一個(gè)有限生成阿貝爾群，即為一個(gè)有限生成-模，可以寫成一個(gè)扭子模和一個(gè)自由子模的直和，的秩是的一個(gè)不變量，設(shè)的秩為，則。
主理想環(huán)上有限秩自由模的子模的不變量定理
設(shè)為主理想環(huán)上一個(gè)秩自由模，為它的一個(gè)子模，于是存在的一基使得構(gòu)成的一基，而且，除相差一個(gè)單位因子外由唯一決定，叫做的不變量，是子模的秩，是商模的秩，是商模的不變因子。
此外，上述定理的一個(gè)等價(jià)定理如下，它們說(shuō)明了基與生成元的變換與矩陣的變換之間的關(guān)系。
設(shè)為主理想環(huán)上任一個(gè)矩陣，則等價(jià)于下列矩陣，
，
其中不為零，且。除相差一個(gè)單位因子外由唯一決定，叫做的不變因子，叫做的標(biāo)準(zhǔn)形。
素子模
有限自由模的素子模的結(jié)構(gòu)定理：設(shè)是環(huán)的素理想，是秩為的自由-模，是的一組-基，那么的屬于素理想的素子模的形式為，其中是上線性無(wú)關(guān)的元。
自由模的素維數(shù)：設(shè)為環(huán)上的有限自由模，則自由模的素維數(shù)計(jì)算公式為。
推廣
投射模
定義：設(shè)是左-模，若有左模使同構(gòu)于自由模，則稱為投射模。
投射模與自由模的關(guān)系：
1.自由模一定是投射模，當(dāng)環(huán)是主理想整環(huán)時(shí)，每個(gè)投射模都是自由模；
2.域上的多項(xiàng)式環(huán)是主理想整環(huán)，那么上的每個(gè)有限生成的投射模都是自由模；
3.交換諾特局部環(huán)上每個(gè)有限生成的投射模也是自由的。
4.投射?？煽闯墒亲杂赡５耐茝V，類似自由模，每個(gè)模都是投射模的同態(tài)像。
此外，對(duì)于右-模有類似的定義與性質(zhì)。
平坦模
定義：右-模稱作平坦的，如果對(duì)于每個(gè)單同態(tài)，其誘導(dǎo)-同態(tài)也是單同態(tài)。類似地，可定義平坦左-模。
平坦模與投射摸的關(guān)系：
1.投射模一定是平坦模，反之不一定成立；
2.環(huán)上每個(gè)左平坦模是投射模的充分必要條件是，環(huán)是左完全環(huán)。
三者關(guān)聯(lián)
首先給出局部有限的艾米·諾特的連通的分次代數(shù)的定義，即形如，且滿足
(1)是諾特的（未必是有限維）；
(2)每個(gè)向量空間都是有限維的；
(3)是任意一個(gè)基礎(chǔ)域。
（在沒(méi)有特別說(shuō)明時(shí)，均為滿足以上3個(gè)條件）
三者之間的關(guān)系：
(1)設(shè)是局部有限的諾特的連通的分次代數(shù)，，則是平坦的是投射的是自由的；
(2)設(shè)是一個(gè)局部有限的艾米·諾特的連通的分次代數(shù)，如果，則有限（Finitistic）維數(shù)猜想對(duì)于是成立的。
應(yīng)用
密碼學(xué)
秘密共享是密碼學(xué)中的常見(jiàn)問(wèn)題：一個(gè)管理者與個(gè)參與者希望共享一個(gè)秘密，從安全考慮，管理者將這個(gè)秘密分成份，分別給每個(gè)參與者一份，使得參與者的某些子集可以恢復(fù)出秘密，這種子集稱為授權(quán)子集，參與者的其它子集稱為非授權(quán)子集，無(wú)法得知秘密。對(duì)于該問(wèn)題，在薩莫爾（Shamir）和布萊克利（Blakley）于1979年提出的-門限方案的基礎(chǔ)上，基于交換環(huán)上的自由模，可以設(shè)計(jì)一個(gè)更為一般的完善的秘密共享方案。
參考資料 >