子模（英文：submodule）是模論的概念之一，其定義為：設M是一個R-模，N是M的一個子集，如果N對于M的加法和M與R的數乘來說也構成一個R-模，則稱N是M的一個子模，M稱為N的擴模。
1871年，德國數學家理查德·戴德金（Richard Dedekind ）在出版的狄利克雷（P. G.L.Dirichlet）《數論講義 第二版》中引進了代數數及代數整數的概念，在研究有理整系數代數方程的過程中定義了體（K?rper），隨后對有理整數的同余理論進行了推廣，得出了模的概念，把模定義為：對加和減這兩種運算均封閉的實數系或者復數系。在后期的代數數論工作中，戴德金以模代數為基礎，在之后代數整數環的工作中闡述了理想的概念，得到了模的升鏈條件。在庫默爾（E.E.Kummer）、戴德金、克羅內克（L.Kronecker）等人對理想論的工作基礎上，拉斯克爾（E.Lasker）在1905年發表的文章《模和理想論》(Zur Theorie der Moduln und Ideale）中，首次定義了準素理想的概念，并把它作為模論的重要概念。1921年，艾米·諾特（Emmy Noether）在《環中的理想論》中進一步闡述了理想理論，在非交換環上定義了模的概念，證明了理想的一些分解結果可以轉化到子模中以及理想的升鏈條件與模的極大條件是等價的。在模論的發展過程中，模的直和分解是一個中心問題，并在20世紀得到了快速發展，它與子模有著密切的聯系。1932年，克魯爾（Krull）證明了模直和分解的唯一性。在交換代數當中，準素分解能夠把一個交換環的理想或者模唯一地表示為準素理想或者準素子模之交，是算術基本定理的一個推廣，可以用來研究代數幾何的課題。
子模具有一些重要性質，如每個子模都有一個兩個平凡子模；模的任意多個子模的交仍為一個子模；子模的和構成的集合仍然是一個子模。由子?？梢远x商模和循環模的概念。此外，還有一些具有特殊性質的子模，如有極大（小）子模、本質子模和多余子模等。模的同態與同構以及直和等概念是模論的中心內容，可得出關于子模的相關定理。在模糊理論中，模還可以推廣到模糊集上，得到環上的模的模糊子模的概念及性質。
定義
模
設是一個喬治·阿貝爾（Abel）加法群，是一個有單位元的環。如果到有一個映射：，并且滿足下列4條法則：，有
；
；
；
，
那么稱是環上的一個左模或一個左-模。
當上述4條法則的乘法運算一次交換律，即，類似地，可驗證成為一個右-模，則稱是一個-模。
子模
設是一個-模，是的一個子集，如果對于的加法和與的數乘來說也構成一個-模，則稱是的一個子模，稱為的擴模。若是的子模，且，則稱為的小室真子模，模的所有子模組成一個格。
簡史
早期研究
1871年，德國數學家理查德·戴德金（Richard Dedekind ）在出版的狄利克雷（P. G.L.Dirichlet）《數論講義 第二版》中引進了代數數及代數整數的概念，在研究有理整系數代數方程的過程中定義了體（K?rper），隨后對有理整數的同余理論進行了推廣，得出了模的概念，把模定義為：對加和減這兩種運算均封閉的實數系或者復數系。在后期的代數數論工作中，戴德金以模代數為基礎，推廣了可除性理論，得到素數和單元的概念，并在之后代數整數環的工作中闡述了理想的概念，得到了模的升鏈條件。
在庫默爾（E.E.Kummer）、戴德金、克羅內克（L.Kronecker）等人對理想論的工作基礎上，拉斯克爾（E.Lasker）在1905年發表的文章《模和理想論》(Zur Theorie der Moduln und Ideale）中，首次定義了準素理想的概念，并把它作為模論的重要概念。后來，艾米·諾特（Emmy Noether）在前人的影響下，于1921年發表的論文《環中的理想論》中，闡述了理想理論中的大部分概念，在非交換環上定義了模的概念，并證明了理想的一些分解結果可以轉化到子模中以及理想的升鏈條件與模的極大條件是等價的。
后續發展
在模論的發展過程中，模的直和分解是一個中心問題，并在20世紀得到了快速發展，它與子模有著密切的聯系。1932年，克魯爾（Krull）證明了模直和分解的唯一性。50年代左右，卡普南斯基（Kaplansky）證明了若模是可數生成子模的直和，則的直和項也是可數生成子模的直和；隨后沃克（Walker）進一步指出，對于無窮基數，若是生成子模的直和，則的直和項也是生成子模的直和。
在交換代數當中，準素分解能夠把一個交換環的理想或者模唯一地表示為準素理想或者準素子模之交，是算術基本定理的一個推廣，可以用來研究代數幾何的課題。1986年，麥卡斯蘭（R.L. McCasland）和摩爾（M.E.Moore）通過素子模的交引入了子模的-根，將理想的根論推廣到模上。1992年，詹金斯（J.Jenkins）和史密斯（大前鋒Smith）在《關于交換環上模的素數根》(On the prime radical of a module over a commutative ring）中定義并討論了模的素根；2003年，迪萊克（P.Y.Dilek）在《關于有限生成自由模的素數子?！?On prime submodules of finitely generated free modules）中研究了交換整環中有限生成自由模的素子模。之后，尹華玉等學者在《GV-理想與素子模》中進一步探討了這些結果。
舉例
例1 把任一交換群看成-模。于是，的非空子集是的子模是交換群的子群。
例2 設為有恒等元素的環。令著成環上的左模。于是，的非空子集是的子模是環的左理想。
例3 令，按通常的運算方法，做成整數環上的模。
取只有有限個； 為固定的自然數，那么與都是的子模。
例4 對任一-模，。子集是的子模。
例5 設是域上的線性空間。是的一個取定的線性變換。那么
(1) 的一個非空子集是-模的一個子模是線性空間的一個子空間。
(2)是一個由導出的多項式環上的左模。那么，的一個非空子集是-模的一個子模是線性變換的不變子空間。（）
特殊子模
極大子模
定義：若是模的真子模，并且不存在嚴格包含的的真子模，即若是的真子模，且，則一定有成立，則稱是的極大子模。
定理：如果模是有限生成的，則的每一個真子模均含在的一個極大子模內。
推論：每個有限生成模有極大子模。
極小子模
與極大子模是互為對偶的概念。若是模的子模，并且若是的非零子模，且，則一定有，則稱為的極小子模。
本質子模
定義：本質子模亦稱大子模，設是-模，是的子模，如果對于中任意子模，那么叫做的本質子模。
本質子模具有傳遞性，即：若是的本質子模，是的本質子模，則也是的本質子模。
多余子模
多余子模亦稱小子模，是本質子模的對偶概念。設是模的子模，若對的子模，由可得出，則稱為的多余子模。記為。
性質
子模具有以下一些性質：
1.每個子模有兩個平凡子模，一個是零模和另一個是自己；
2.模的任意多個子模的交仍為一個子模；
3.模中有限多個子模之和，仍是的一個子模。
衍生概念
商模
設為-模的一個子模。作為的一個子群，是的正規子群，作商群，仍是一個交換群。在自然的方式下規定在上的作用，設為的任一代表，規定，這個定義與的代表的取法無關。設為的任一代表，則。因而，易知此作用滿足模的定義中的4個條件，于是成為一個-模，叫做模對子模的商模。
循環模
定義：設是-模的一個有限子集，則稱為有限生成子模，叫做的一組生成元素，簡記作。當時，就說是有限生成模。特別地，時，則稱為的循環子模。而當時，稱是循環模。
性質：模是循環模的充分必要條件是，其中為環的一個左理想。
相關概念
模同態與同構
設和為兩個-模，若存在到的一個映射滿足：
(1)是一個群同態；
(2)。
則叫做到的一個模同態或-同態。若是到的一個一一對應，則叫做一個模同構。
模的直和
設為同一個環上的模，作加法群的直和，然后規定對的作用：，對于，則成為一個-模。叫做-模的 直和，簡記作。
相關定理
模同態基本定理
設為-模到-模的一個模同態，則和分別是和的子模，而且誘導出模同構，使得。
模同構定理
第一同構定理
設和為-模，為滿同態，令為的子模，且那么，映射是一個-同構。
第二同構定理
設是-模，與都是的子模，那么商模與同構。
第三同構定理
設為-模。與都是的子模，且那么商模與同構。
模直和的特征
定理1：設和為兩個-模，而且是個-模的直和，如果存在的子模到的模同態，則可以唯一地開拓成模同態，使得滿足。
定理2：設為一個-模且包含個子模，滿足：
(1)；
(2)；
則存在模同構使得。
定理3：
(1)若-模是子模的直和，而且每個又是子模的直和，則是子模的直和；
(2)若-模是子模的直和，令，則是的直和；
(3)若-模是子模的直和，令，則商模和成模同構。
推廣
模是代數學中一個重要代數結構。1975年，內戈伊塔（C.V.Negoita）與拉萊斯庫（D.A.Ralescu）在《模糊集在系統分析中的應用》(Application of fuzzy sets to system analysis）中第一次給出了環上的一個模的模糊子模的概念，后來，拉結神·庫馬爾（Rajesh Kumar）等人從經典模論給出的性質，將其模糊化，并給出了模糊子模的一些重要性質。
模糊子模
定義
設是環，是一個左-模，。若對任意的，任意的，恒有：
；
；
則稱是的一個模糊子模。上的全體模糊子模所成集合記為。
性質
1.設是環，是一個左-模，，則以下命題等價：
(1)；
(2)，有；
(3)；
(4)。
2.設是環，是左-模，，則是的模糊子模，且，有；
3.設是環，是左-模，，則；
4.設是有單位元的交換環，是自己上的模，則-模的模糊子模是環上的模糊理想；
5 設是左-模，是的模糊子模。若是交換環，則，是的模糊子模，其中。
參考資料 >