不變因子是λ-矩陣?yán)碚撝械母拍睿司仃?λ)最后化成的史密斯標(biāo)準(zhǔn)型，其對(duì)角線的元素d?(λ)，d?(λ)，...，d?(λ)稱為(λ)的不變因子。
基本概念
設(shè) 是n階一矩陣，k是小于等于n的某個(gè)正整數(shù)，如果 的所有k階子式的最大公因子(它是首一多項(xiàng)式)不等于零，則稱這個(gè)多項(xiàng)式為 的k階行列式因子，記為。如果 的所有k階子式都等于零，則規(guī)定 的k階行列式因子為零。
定義
設(shè) 是一矩陣的非零行列式因子，則
稱為的不變因子。
相關(guān)定理
定理1
相抵的λ一矩陣有相同的行列式因子，從而有相同的不變因子。
證明我們只需證明行列式因子在任意一種初等變換下不變就可以了，對(duì)第一種初等變換，交換λ一矩陣的任兩行，顯然A(λ )的i階子式最多改變一個(gè)符號(hào)，因此行列式因子不改變。
對(duì)第二種初等變換，A(λ )的i階子式與變換后矩陣的i階子式最多差一個(gè)非零常數(shù)，因此行列式因子也不改變。
對(duì)第三種初等變換，記變換后的矩陣為B(λ )，則B( λ)與A(λ )的i階子式可能出現(xiàn)以下3種情形：子式完全相同；B(λ )子式中的某一行(列)等于A(λ )中相應(yīng)子式的同一行(列)加上該子式中某一行(列)與某個(gè)多項(xiàng)式之積；B(λ )子式的某一行(列)等于A( λ)中相應(yīng)子式的同一行(列)加上不在該子式中的某一行(列)與某個(gè)多項(xiàng)式之積，在前面兩種情形，行列式的值不改變，因此不影響行列式因子，現(xiàn)在來(lái)討論第三種情形，設(shè) 為B(λ )的t階子式，相應(yīng)的A( λ)的i階子式記為，則由行列式性質(zhì)得
其中 由A( λ)中的i行與i列組成，因此它與A( λ)的某個(gè)i階子式最多差一個(gè)符號(hào)，是乘以某一行(列)的那個(gè)多項(xiàng)式，于是A( λ)的行列式因子，故，這說(shuō)明，可整除B(λ)的所有i階子式，因此 可整除B(λ )的i階行列式因子，但B( λ)也可用第三種初等變換變成A( λ)，于是，由于 及 都是首一多項(xiàng)式，因此必有。
推論1
設(shè)n階 λ一矩陣A( λ)的法式為
其中 是非零首一多項(xiàng)式且，則A(λ )的不變因子為 ．特別，法式和不變因子之間相互唯一確定。
證明 由定理1，A(λ )與 有相同的不變因子，的不變因子為，從而它們也是A(λ )的不變因子。
推論2
設(shè)A(λ )，B( λ)為n階 λ一矩陣，則A(λ )與B( λ)相抵當(dāng)且僅當(dāng)它們有相同的法式。
證明 若A( λ)與B( λ)有相同的法式，顯然它們相抵，若A( λ)與B( λ)相抵，由定理1知A( λ)與B( λ)有相同的不變因子，從而有相同的法式。
推論3
n階 λ一矩陣A(λ )的法式與初等變換的選取無(wú)關(guān)。
證明 設(shè) 是A( λ)通過(guò)不同的初等變換得到的兩個(gè)法式，則 與相抵，由推論2可得。
定理2
數(shù)域 上n階矩陣A與B相似的充分必要條件是它們的特征矩陣 和 具有相同的行列式因子或不變因子。
證明 顯然不變因子與行列式因子之間相互唯一確定，再由定理2，推論1及推論2即得結(jié)論。
之后特征矩陣的行列式因子及不變因子均簡(jiǎn)稱為A的行列式因子與不變因子。
推論4
設(shè) 是兩個(gè)數(shù)域，A，B是 上的兩個(gè)矩陣，則A與B在 上相似的充分必要條件是它們?cè)?上相似。
證明 若A與B在 上相似，由于，它們當(dāng)然在 上也相似，反之，若A，B在 上相似，則 與 在 上有相同的不變因子，也就是說(shuō)它們有相同的法式，但在求法式的過(guò)程中只涉及多項(xiàng)式的加、減、乘及數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算，而數(shù)域在加、減、乘、除運(yùn)算下封閉，數(shù)域上的多項(xiàng)式在加、減、乘及數(shù)乘下也封閉，因此由推論3，法式中的不變因子多項(xiàng)式 仍是 上的多項(xiàng)式，與初等變換相對(duì)應(yīng)的初等矩陣也是 上的 一矩陣，這就是說(shuō)存在 上的可逆 一矩陣，使
從而
即 與 在 上相抵，由定理2可得A與B在 上相似。
參考資料 >