投射模是比自由模更一般的模，它是內(nèi)射模的對(duì)偶概念，設(shè)P是左A模，若有左A模Q使P⊕Q同構(gòu)于自由A模，則P稱為投射A模。這等價(jià)于：函子HomA(P,-)是正合的；也等價(jià)于：對(duì)每個(gè)滿同態(tài)f:M→N，及每個(gè)同態(tài)γ:P→N，一定有同態(tài)r:P→M，使得f°r=γ成立。對(duì)右A模有類似的定義與性質(zhì)，任意左A模M必是某一左A投射模的商模；環(huán)A作為A模當(dāng)然是投射模，自由模一定是投射模，投射模一定是平坦模，反之都不一定成立，當(dāng)環(huán)A是主理想整環(huán)時(shí)，每個(gè)投射模都是自由模。塞爾(Serre,J.P.)于1955年曾提出一個(gè)著名的猜測(cè)(塞爾猜測(cè))：域F上的多項(xiàng)式環(huán)F[x?,x?,…,x?]上的每個(gè)有限生成的投射模是否是自由模？奎倫(Quillen,D.G.)和蘇斯林(Суслин,М.Я.)幾乎同時(shí)于1976年用不同方法給以解決(他們得出更強(qiáng)的結(jié)果，即只要限制F為主理想整環(huán)即可)，另外，交換艾米·諾特局部環(huán)上每個(gè)有限生成的投射模也是自由的，這個(gè)結(jié)果首先由卡普蘭斯基(Kaplansky,I.)于1958年得到，投射模在模論、同調(diào)代數(shù)、代數(shù)K理論中有重要應(yīng)用。
概念
定理1
(1)對(duì)于模，下列命題是等價(jià)的：
①每個(gè)單同態(tài)
分裂(i.e. Im( )是B的直和項(xiàng))。
②對(duì)每個(gè)單同態(tài)及同態(tài)，存在一個(gè)同態(tài)使得。
③對(duì)每個(gè)單同態(tài)，
是滿同態(tài)。
(2) 對(duì)模，下列命題是等價(jià)的：
① 每個(gè)滿同態(tài)分裂(i.e. Ker()是B的直和項(xiàng))。
② 對(duì)每個(gè)滿同態(tài)，和每個(gè)同態(tài)，一個(gè)同態(tài)，使得．
③ 對(duì)每個(gè)滿同態(tài)，
是一個(gè)滿同態(tài)。
定義
(1)滿足定理1中(1)的條件的模叫作內(nèi)射R-模。
(2)滿足定理1中(2)的條件的模叫作 投射R-模。
相關(guān)定理與推論
推論1
(1)Q是內(nèi)射模，并且也是內(nèi)射模。
(2)P是投射模，并且 也是投射模。
定理2
(1)令，則有：Q是內(nèi)射模 ( 是內(nèi)射的)
(2)令或，則有：P是投射模 (是投射的)
定理3
一個(gè)模是投射的它同構(gòu)于自由模的直和項(xiàng)。
證明：由定理3，每個(gè)自由模是投射的。由上同構(gòu)于自由模的直和項(xiàng)的模也是投射的，為證其逆，設(shè)P是一個(gè)投射模，令是自由模F到P上的滿同態(tài)，P是投射模，故分裂， 。于是同構(gòu)于P。
對(duì)于這個(gè)定理。沒有關(guān)于內(nèi)射模的對(duì)偶定理。由這個(gè)定理，投射模的理論就簡化為自由模及它的直和項(xiàng)的性質(zhì)問題，眾所周知，由于每個(gè)自由-模的子模仍是自由的，于是得到以下推論。
推論2
每個(gè)投射-模是自由的。
定理4
對(duì)于投射模的研究，一個(gè)重要的引理就是對(duì)偶基原理，它在投射模理論中的地位類似于基在自由模理論中所處的地位。
(對(duì)偶基引理)下列性質(zhì)是等價(jià)的：
(1) 是投射的；
(2)對(duì)于P在R上的每個(gè)生成元集，則的子集滿足：
①，僅對(duì)有限多個(gè)成立。
②，。
(3)存在子集和使①與②成立。
參考資料 >