平坦模(flat module)是一類重要的模，投射模一定是平坦模，反之不一定成立。環(huán)A上每個(gè)左A平坦模是投射模的充分必要條件是，環(huán)A是左完全環(huán)。
定義
定義1 平坦模是一類重要的模。右A模M，若函子-是正合的，則稱是 平坦模。類似地，對(duì)左A模M，若函子-正合，則稱是平坦模。
定義2-模叫作平坦的，若對(duì)每個(gè)單同態(tài)
映射也是單同態(tài)。
相關(guān)性質(zhì)定理
推論1平坦模的同構(gòu)像也是平坦的。
定理2令(或)，則有：是平坦的是平坦的。
定理3每個(gè)投射模都是平坦的。
引理4設(shè)有-模和，
(1) 若，則存在有限生成子模與（）使得。
(2)設(shè)，則。
推論5 設(shè)是一個(gè)模且使它的每個(gè)有限生成子模包含在一個(gè)平坦子模內(nèi)，則M是平坦的。
推論6若對(duì)一個(gè)同態(tài)和一個(gè)模，
不是單同態(tài)，則存在有限生成子模使得也不是單同態(tài)。
定理7對(duì)模，下列敘述是等價(jià)的：
(1)是平坦的；
(2) 對(duì)每個(gè)有限生成右理想，及包含映射，則是單同態(tài)；
(3)是內(nèi)射的。
定理8對(duì)于環(huán)，下列條件是等價(jià)的：
(1) 每個(gè)模是平坦的；
(2) 對(duì)每個(gè)元素，存在一個(gè)元素使得；
(3)的每個(gè)循環(huán)右理想是的直和項(xiàng)；
(4)的每個(gè)有限生成有理想是的直和項(xiàng)。
引理9 令是平坦的，表示包含映射，則下列是等價(jià)的：
(1)是單同態(tài)；
(2)。
定理10令是平坦的，，則下列是等價(jià)的：
(1)是平坦的；
(2)對(duì)每個(gè)有限生成理想成立。
定理11令是投射的，，如果是平坦的，則。
推論12令是投射模，且，則。
參考資料 >