向量積，數學中又稱外積、叉積，物理中稱矢積、叉乘，是一種在向量空間中向量的二元運算。與點積不同，它的運算結果是一個向量而不是一個標量。并且兩個向量的叉積與這兩個向量和垂直。其應用也十分廣泛，通常應用于物理學光學和計算機圖形學中。
基本概念
表示方法
兩個向量a和b的叉積寫作（有時也被寫成，避免和字母x混淆）。
定義
向量積可以被定義為：模長：（在這里θ表示兩向量之間的夾角(共起點的前提下)，它位于這兩個矢量所定義的平面上。）
方向：a向量與b向量的向量積的方向與這兩個向量所在平面垂直，且遵守右手定則。（一個簡單的確定滿足“右手定則”的結果向量的方向的方法是這樣的：若坐標系是滿足右手定則的，當右手的四指從a以不超過180度的轉角轉向b時，豎起的大拇指指向是c的方向。）
也可以這樣定義（等效）：
向量積
即c的長度在數值上等于以a，b，夾角為θ組成的平行四邊形的面積。
而c的方向垂直于a與b所決定的平面，c的指向按右手定則從a轉向b來確定。
*運算結果c是一個偽向量。這是因為在不同的坐標系中c可能不同。
坐標運算
設 ,)。i，j，k分別是X，Y，Z軸方向的單位向量，則：
為了幫助記憶，利用三階行列式，寫成
證明
為了更好地推導，我們需要加入三個軸對齊的單位向量i,j,k。
i,j,k滿足以下特點：i=j×k；j=k×i；k=i×j；k×j=–i；i×k=–j；j×i=–k；i×i=j×j=k×k=0；（0是指0向量）。
由此可知，i,j,k是三個相互垂直的向量。它們剛好可以構成一個坐標系。
這三個向量的特例就是i=(1，0，0)、j=(0，1，0)、k=(0，0，1)。
對于處于i,j,k構成的坐標系中的向量u,v我們可以如下表示：
；
；
那么
由于上面的i,j,k三個向量的特點，所以，最后的結果可以簡化為
。
與數量積的區別
注：向量積≠向量的積（向量的積一般指點乘）
一定要清晰地區分開向量積（矢積）與數量積（標積）。見下表。
性質
幾何意義及其運用
叉積的長度可以解釋成這兩個叉乘向量a,b共起點時，所構成平行四邊形的面積。據此有：三重積可以得到以a，b，c為棱的平行六面體的體積。
代數規則
1.反交換律：
2.加法的分配律：
3.與標量乘法兼容：。
4.不滿足結合律，但滿足卡爾·雅可比恒等式：a×（b×c）+b×（c×a）+c×（a×b）=0。
5.分配律，線性性和雅可比恒等式別表明：具有向量加法和叉積的R3構成了一個李代數。
6.兩個非零向量a和b平行，當且僅當。
拉格朗日公式
這是一個著名的公式，而且非常有用：
證明過程如下：
二重向量叉乘化簡公式及證明
可以簡單地記成。這個公式在物理上簡化向量運算非常有效。需要注意的是，這個公式對微分算子不成立。
這里給出一個和梯度相關的一個情形：
這是一個霍奇拉普拉斯算子的霍奇分解的特殊情形。
另一個有用的拉格朗日恒等式是：
矩陣形式
；
；
；
通過這些規則，兩個向量的叉積的坐標可以方便地計算出來，不需要考慮任何角度：設
；
；
則。
叉積也可以用四元數來表示。注意到上述i，j，k之間的叉積滿足四元數的乘法。一般而言，若將向量表示成四元數，兩個向量的叉積可以這樣計算：計算兩個四元數的乘積得到一個四元數，并將這個四元數的實部去掉，即為結果。更多關于四元數乘法，向量運算及其幾何意義請參看四元數（空間旋轉）。
高維情形
七維向量的叉積可以通過八元數得到，與上述的四元數方法相同。
七維叉積具有與三維叉積相似的性質：
雙線性性：；
反交換律：；
同時與x和y垂直：；
拉格朗日恒等式：；
不同于三維情形，它并不滿足雅可比恒等式：。
應用
在物理學光學和計算機圖形學中，叉積被用于求物體光照相關問題。
求解光照的核心在于求出物體表面法線，而叉積運算保證了只要已知物體表面的兩個非平行矢量(或者不在同一直線的三個點)，就可依靠叉積求得法線。
參考資料 >