三重積，又稱混合積，是三個(gè)向量相乘的結(jié)果。向量空間中，有兩種方法將三個(gè)向量相乘，得到三重積，分別稱作標(biāo)量三重積和向量三重積。設(shè)?a ，b ，c?是空間中三個(gè)向量，則（a×b）·c?稱為三個(gè)向量?a?，b?，c?的混合積，記作[a b c]?或（a,b,c）或（abc）。
標(biāo)量三重積
定義
標(biāo)量三重積是三個(gè)向量中的一個(gè)和另兩個(gè)向量的叉積相乘得到點(diǎn)積，其結(jié)果是個(gè)贗標(biāo)量。
設(shè)為a,b,c為三個(gè)向量，則標(biāo)量三重積的定義為。
特性
設(shè)則有
證明
利用行列式的特性，可知順序置換向量的位置不影響標(biāo)量三重積的值：
.
任意對(duì)換兩個(gè)向量的位置，標(biāo)量三重積與原來(lái)相差一個(gè)負(fù)號(hào)：
若任意兩個(gè)向量相等，則標(biāo)量三重積等于零：
其他記號(hào)
有時(shí)候，標(biāo)量三重積會(huì)以括號(hào)表示：
幾何意義
幾何上，由三個(gè)向量定義的平行六面體，其體積等于三個(gè)標(biāo)量標(biāo)量三重積的絕對(duì)值：
向量三重積
向量三重積是三個(gè)向量中的一個(gè)和另兩個(gè)向量的叉積相乘得到的叉積，其結(jié)果是個(gè)向量。
定義
對(duì)于三個(gè)向量?a，b，c，向量三重積的定義為
。
值得注意的是，一般來(lái)說(shuō)，
。
特性
以下恒等式，稱作三重積展開或拉格朗日公式，對(duì)于任意向量a,b,c均成立：
.
英文中有對(duì)于第一式有助記口訣 （，后面的出租車），但是不容易記住第一式跟第二式的變化，很容易搞混。觀察兩個(gè)公式，可得到以下三點(diǎn)：
兩個(gè)分項(xiàng)都帶有三個(gè)向量；
三重積一定是先做叉積的兩向量之線性組合；
中間的向量所帶的系數(shù)一定為正（此處為向量b）。
證明
我們可以由叉積的定義計(jì)算的x分量：
類推至y和z分量，可得：
所以
。
利用上述恒等式，可得以下結(jié)果：
（雅可比恒等式）
在向量分析中，有以下與梯度相關(guān)的一條恒等式：
參考資料 >