在幾何中，以一般化的觀點(diǎn)來(lái)說(shuō)，標(biāo)量是零維的幾何量，向量是一維的有向幾何量，依此類推，我們可以有二維的有向幾何量。幾何代數(shù)中的外代數(shù)（exterior algebra）采用了這個(gè)一般化的觀點(diǎn)定義了二重向量（bivector）。一個(gè)二重向量亦即二維的有向幾何量，它是一個(gè)有向面積。
簡(jiǎn)介
二重向量是使用外積（exterior product）來(lái)產(chǎn)生的：令a與b為向量，它們的外積即為一個(gè)二重向量，代表由a與b圍成的平行四邊形面積，其方向?yàn)閍到b的時(shí)針?lè)较颉Ｋ裕夥e是反對(duì)稱的，的方向恰與相反。另外，是一個(gè)“零二重向量”。
有時(shí)候，三維的二重向量被拿來(lái)當(dāng)作一種偽向量。
歷史
德國(guó)數(shù)學(xué)家赫爾曼·格拉斯曼于1844年的《線性外代數(shù)》論文中，將二重向量以二向量外積的方式介紹出來(lái)。同時(shí)期，愛(ài)爾蘭數(shù)學(xué)家哈密頓于1843年發(fā)表了四元數(shù)。1888年，英國(guó)數(shù)學(xué)家克利福德結(jié)合二者并發(fā)表了克利福德代數(shù)，二重向量才被完整的了解。
赫爾曼·格拉斯曼
赫爾曼·京特·格拉斯曼（Hermann Günther Gra?mann，1809年4月15日－1877年9月26日），出生于什切青，是一個(gè)德國(guó)博學(xué)者，在他生活的時(shí)代以語(yǔ)言學(xué)家身份聞名，以數(shù)學(xué)家身份而著稱。他也是一位物理學(xué)家，新人道主義者，博學(xué)的學(xué)者，和出版家。
克利福德代數(shù)
克利福德代數(shù)（Clifford algebra），又稱幾何代數(shù)（Geometric algebra），是綜合了內(nèi)積和外積兩種運(yùn)算，在幾何和物理中在很多應(yīng)用的一門數(shù)學(xué)學(xué)科。克利福德代數(shù)是復(fù)數(shù)、四元數(shù)和外代數(shù)的推廣。
外代數(shù)
外代數(shù)（英語(yǔ)：Exterior algebra）也稱為赫爾曼·格拉斯曼代數(shù)（Grassmann algebra），以紀(jì)念赫爾曼·格拉斯曼。
數(shù)學(xué)上，給定向量空間V的外代數(shù)，是特定有單位的結(jié)合代數(shù)，其包含了V為其中一個(gè)子空間。它記為 Λ(V) 或 Λ(V)而它的乘法，稱為楔積或外積，記為∧。楔積是結(jié)合的和雙線性的；其基本性質(zhì)是它在V上交錯(cuò)的，也就是：
，對(duì)于所有向量，這表示，對(duì)于所有向量，以及，當(dāng) 線性相關(guān)時(shí)。
注意這三個(gè)性質(zhì)只對(duì)V中向量成立，不是對(duì)代數(shù)Λ(V)中所有向量成立。外代數(shù)事實(shí)上是“最一般的”滿足這些屬性的代數(shù)。這意味著所有在外代數(shù)中成立的方程只從上述屬性就可以得出。
形式為的元素，其中在V中，稱為k-向量。所有k-向量生成的Λ(V)的子空間稱為V的k-階外冪，記為Λ(V)。外代數(shù)可以寫(xiě)作每個(gè)k階冪的直和：
該外積有一個(gè)重要性質(zhì)，就是k-向量和l-向量的積是一個(gè)k+l-向量。這樣外代數(shù)成為一個(gè)分次代數(shù)，其中分級(jí)由k給出。這些k-向量有幾何上的解釋：2-向量代表以u(píng)和v為邊的帶方向的平行四邊形，而3-向量代表帶方向的平行六面體，其邊為u,v, 和w。
外冪的主要應(yīng)用在于微分幾何，其中他們用來(lái)定義微分形式。因而，微分形式有一個(gè)自然的楔積。所有這些概念由赫爾曼·格拉斯曼提出。
偽矢量
偽矢量（英語(yǔ)：Pseudovector），指的是在瑕旋轉(zhuǎn)下，除了隨之反射外，還會(huì)再上下翻轉(zhuǎn)的矢量（因?yàn)?a href="/hebeideji/6648640931169117659.html">右手定則的關(guān)系）。矢量（極矢量）和偽矢量（軸矢量）都是廣義上的矢量，在一般旋轉(zhuǎn)下的特性相同。但更嚴(yán)格地說(shuō)，矢量還要求在瑕旋轉(zhuǎn)下，除了空間反衍外，不會(huì)再改變方向。在三維空間中，偽矢量p可以表示為二個(gè)極矢量a和b的外積：以此方式計(jì)算的p是偽矢量，其中一個(gè)例子是有向平面的法矢量。有向平面可以用二個(gè)不平行的矢量a和b來(lái)定義。矢量垂直此平面（和平面垂直的矢量有二個(gè)，其方向恰好相反，可以用右手定則決定是哪一個(gè)），為一偽矢量。許多物理量是偽矢量，例如磁感應(yīng)強(qiáng)度、角速度等。在數(shù)學(xué)上，偽矢量是三維的二重矢量，可以由此推得偽矢量的轉(zhuǎn)換規(guī)則。n維幾何代數(shù)的偽矢量是維代數(shù)的元素，可以表示為ΛR。可以由偽矢量引申出偽標(biāo)量及偽張量，在瑕旋轉(zhuǎn)下會(huì)比標(biāo)量及張量多出一個(gè)負(fù)號(hào)。
參考資料 >