在數(shù)學(xué)中，平方可積函數(shù)是絕對值平方的積分為有限值的實(shí)值或復(fù)值可測函數(shù)，又稱二次積分函數(shù)。
定義
若，則我們說 在實(shí)直線 上是平方可積的。平方可積一詞也可以用于有限區(qū)間如[0,1] ? 。
一個(gè)等價(jià)的定義是，函數(shù)本身的平方（而非它的絕對值）是亨利·勒貝格可積的。要想使其為真，實(shí)部的正和負(fù)的部分的積分都必須是有限的，虛部也是如此。
通常這個(gè)術(shù)語不是指某個(gè)特定函數(shù)，而是指幾乎處處相等的一組函數(shù)。
性質(zhì)
平方可積函數(shù)（這里的“函數(shù)”實(shí)際上意味著幾乎處處相等的一組函數(shù)）通過內(nèi)積構(gòu)成一個(gè)內(nèi)積空間，其中
（1）和 都是平方可積函數(shù)；
（2）是 的復(fù)共軛；
（3）是積分區(qū)間——在定義的第一種情況中，就是，第二種情況中，是。
由于，平方可積性之要求也即
可以證明，平方可積函數(shù)在上述定義的內(nèi)積導(dǎo)出的度量下構(gòu)成一個(gè)完備度量空間。完備度量空間也被稱奧古斯丁-路易·柯西空間，因?yàn)樵谶@樣的度量空間中，數(shù)列收斂當(dāng)且僅當(dāng)其為柯西序列。由一個(gè)范數(shù)導(dǎo)出的度量下的完備空間是巴拿赫空間。因此，平方可積函數(shù)的空間是由該范數(shù)導(dǎo)出的度量下的巴拿赫空間，而范數(shù)又是由內(nèi)積導(dǎo)出的。由于內(nèi)積的補(bǔ)充性質(zhì)，這（空間）其實(shí)就是一個(gè)希爾伯特空間，因?yàn)榭臻g在由內(nèi)積導(dǎo)出的度量下是完備的。
希爾伯特空間
簡介
在數(shù)學(xué)中，希爾伯特空間是歐幾里德空間的一個(gè)推廣，其不再局限于有限維的情形。與歐幾里德空間相仿，希爾伯特空間也是一個(gè)內(nèi)積空間，其上有距離和角的概念（及由此引申而來的正交性與垂直性的概念）。此外，希爾伯特空間還是一個(gè)完備的空間，其上所有的奧古斯丁-路易·柯西序列等價(jià)于收斂序列，從而微積分中的大部分概念都可以無障礙地推廣到希爾伯特空間中。希爾伯特空間為基于任意正交系上的多項(xiàng)式表示的傅立葉級數(shù)和傅立葉變換提供了一種有效的表述方式，而這也是泛函分析的核心概念之一。希爾伯特空間是公式化數(shù)學(xué)和量子力學(xué)的關(guān)鍵性概念之一。
應(yīng)用
一個(gè)抽象的希爾伯特空間中的元素往往被稱為向量。在實(shí)際應(yīng)用中，它可能代表了一列復(fù)數(shù)或是一個(gè)函數(shù)。例如在量子力學(xué)中，一個(gè)物理系統(tǒng)可以被一個(gè)復(fù)希爾伯特空間所表示，其中的向量是描述系統(tǒng)可能狀態(tài)的波函數(shù)。詳細(xì)的資料可以參考量子力學(xué)的數(shù)學(xué)描述相關(guān)的內(nèi)容。量子力學(xué)中由平面波和束縛態(tài)所構(gòu)成的希爾伯特空間，一般被稱為裝備希爾伯特空間（rigged Hilbert space）。
原理
在一個(gè)實(shí)向量空間或復(fù)向量空間H上的給定的內(nèi)積 < x,y > 可以按照如下的方式導(dǎo)出一個(gè)范數(shù)（norm）：
如果其對于這個(gè)范數(shù)來說是完備的，此空間稱為是一個(gè)希爾伯特空間。這里的完備性是指，任何一個(gè)奧古斯丁-路易·柯西序列都收斂到此空間中的某個(gè)元素，即它們與某個(gè)元素的范數(shù)差的極限為0。任何一個(gè)希爾伯特空間都是巴拿赫空間，但是反之未必。
任何有限維內(nèi)積空間（如歐幾里德空間及其上的點(diǎn)積）都是希爾伯特空間。但從實(shí)際應(yīng)用角度來看，無窮維的希爾伯特空間更有價(jià)值。
內(nèi)積可以幫助人們從“幾何的”觀點(diǎn)來研究希爾伯特空間，并使用有限維空間中的幾何語言來描述希爾伯特空間。在所有的無窮維拓?fù)湎蛄靠臻g中，希爾伯特空間性質(zhì)最好，也最接近有限維空間的情形。
傅立葉分析的一個(gè)重要目的是將一個(gè)給定的函數(shù)表示成一組給定的基函數(shù)的和（可能是無窮和）。這個(gè)問題可以在希爾伯特空間中更抽象地描述為：任何一個(gè)希爾伯特空間都有一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，而且每個(gè)希爾伯特空間中的元素都可以唯一地表示為這族基中的元素或其倍數(shù)的和。
柯西序列
在數(shù)學(xué)中，一個(gè)柯西列是指一個(gè)這樣一個(gè)序列，它的元素隨著序數(shù)的增加而愈發(fā)靠近。更確切地說，在去掉有限個(gè)元素后，可以使得余下的元素中任何兩點(diǎn)間的距離的最大值不超過任意給定的正的常數(shù)。柯西列是以數(shù)學(xué)家奧古斯丁-路易·柯西的名字命名的。
設(shè){xn}是距離空間X中的點(diǎn)列，如果對于任意的ε>0，存在自然數(shù)N，當(dāng)m,n>N時(shí)，|xn-xm|<ε，稱{xn}是一個(gè)Cauchy列。
部分性質(zhì)
1.對于在某度量空間內(nèi)的柯西序列，它的極限不一定在相同的度量空間內(nèi)。如有理柯西序列可導(dǎo)出無理極限。（事實(shí)上，一種實(shí)數(shù)構(gòu)造就是用這種方法）
2.任何收斂列必然是柯西列，任何柯西列必然是有界序列。
參考資料 >