巴拿赫空間是一種賦有“長(zhǎng)度”的向量空間，泛函分析研究的基本對(duì)象之一。
正文
一種賦有“長(zhǎng)度”的線性空間，泛函分析研究的基本對(duì)象之一。數(shù)學(xué)分析各個(gè)分支的發(fā)展為巴拿赫空間理論的誕生提供了許多豐富而生動(dòng)的素材。從K.（T.W.）卡爾·魏爾施特拉斯以來(lái)，人們久已十分關(guān)心閉區(qū)間【α,b】上的連續(xù)函數(shù)以及它們的一致收斂性。甚至在19世紀(jì)末，G.阿斯科利就得到【α，b】上一族連續(xù)函數(shù)之列緊性的判斷準(zhǔn)則，后來(lái)十分成功地用于常微分方程和復(fù)變函數(shù)論中。1909年F.（F.）里斯給出C【0,1】上連續(xù)線性泛函的表達(dá)式，這是分析學(xué)歷史上的重大事件。還有一個(gè)極重要的空間，那就是由所有在【0,1】上p次可亨利·勒貝格求和的函數(shù)構(gòu)成的Lp空間(1
定義? 對(duì)于實(shí)(或復(fù))數(shù)域K上的向量空間X，若有從X到R的函數(shù)‖x‖使得：①‖x‖≥0,‖x‖=0必須且只須x=0,②對(duì)α ∈K,有‖αx‖=α‖x‖,③‖x+y‖≤‖x‖+‖y‖,則稱X為線性賦范空間，而稱‖x‖為范數(shù)。
顯然，范數(shù)這概念是Rn中向量長(zhǎng)度概念的推廣。如同有理數(shù)系可完備化為實(shí)數(shù)系，任何線性賦范空間也可按照距離d(x,y)=‖x-y‖作為度量空間而完備化。
完備的賦范線性空間稱為巴拿赫空間。例如，設(shè)Ω為緊豪斯多夫空間，令C(Ω)表示Ω上一切實(shí)(或復(fù))值連續(xù)函數(shù)的全體，則C(Ω)關(guān)于范數(shù)成為一個(gè)巴拿赫空間。再如，設(shè)(Ω,μ)是正測(cè)度空間，令Lp(Ω，μ)表示Ω上一切p（p≥1）次可求和函數(shù)的全體，則Lp(Ω,μ)關(guān)于范數(shù)成為一個(gè)巴拿赫空間。特別取Ω={1,2,3,…},μ(n)＝1(當(dāng)n＝1、2、3、…)則相應(yīng)的Lp(Ω,μ)成為滿足條件的數(shù)列的全體，而相應(yīng)的范數(shù)為。一般記這個(gè)特殊的Lp（Ω,μ）為lp。還如，設(shè)(Ω,β，μ)是正測(cè)度空間，對(duì)Ω上可測(cè)的函數(shù)?(t),如果有正數(shù)α，使于Ω幾乎處處有│?｜(t)｜≤α，則稱 ?(t)為本性有界的函數(shù)，而記上述諸α之下確界為。令L∞(Ω)表示Ω上之本性有界函數(shù)的全體，則L∞(Ω)關(guān)于范數(shù)成為一個(gè)巴拿赫空間。特別對(duì)Ω={1,2,3,…}而μ(n)=1(n=1,2,3,…)則相應(yīng)的L∞(Ω)即有界數(shù)列的全體，而相應(yīng)的范數(shù)為。一般記這個(gè)特殊的L∞(Ω)為m。
若,則稱強(qiáng)收斂于x,簡(jiǎn)寫作。
基? 作為完全就范直交函數(shù)系的推廣，設(shè)是巴拿赫空間X中的序列，如果對(duì)每個(gè)x ∈X 都恰有一數(shù)列，使，則稱為X 的基，而稱X為有基的空間。凡有基的空間一定是可分的，對(duì)于許多可分空間，人們具體地構(gòu)造出它們的基。但是，是否每個(gè)可分的巴拿赫空間都有基的問題，直到1973年才由P.恩夫洛舉出反例。確有可分而沒有基的巴拿赫空間。
對(duì)偶空間? 設(shè) ?(x)是從實(shí)(或復(fù))域?上賦范向量空間X到?上的線性函數(shù)。若?(x)還是連續(xù)的，則稱?(x)為連續(xù)線性泛函。一切如此的?(x)按范數(shù)構(gòu)成的巴拿赫空間，便稱為X的對(duì)偶空間(或共軛空間)并記作X*（或X┡）。
在許多數(shù)學(xué)分支中都會(huì)遇到對(duì)偶空間，例如矩量問題、偏微分方程理論等。一些物理系統(tǒng)的狀態(tài)也常與適當(dāng)空間上的線性泛函聯(lián)系在一起。至于泛函分析本身，對(duì)偶空間也是極為重要的概念。通過(guò)X*,能更好地理解X。
里斯表現(xiàn)定理? 設(shè)Ω是緊豪斯多夫空間，則于復(fù)的C(Ω)上的連續(xù)線性泛函?(x)，便恰有Ω上的一個(gè)復(fù)正則波萊爾測(cè)度μ使
(1)
并且‖?‖=μ在Ω上的全變差 |μ|。許多人把這結(jié)果稱作里斯表現(xiàn)定理。它是發(fā)展近代算子譜論的重要工具，還有著其他多方面的應(yīng)用。這定理也可推廣至局部緊豪斯多夫空間。許多測(cè)度來(lái)源于此定理。
設(shè)Ω上所有復(fù)的正則波萊爾測(cè)度為m(Ω)，對(duì)每個(gè)μ∈m(Ω)，由(1)式定義的?(x)是C(Ω)上的連續(xù)線性泛函，定義‖μ‖＝全變差|μ|,則C(Ω)*保范同構(gòu)于m(Ω)。
例如，于正測(cè)度μ,有Lp(Ω,μ)(1 (2) 式中z(t)∈Lq(Ω,μ),而,并且。另一方面，由(2)式右端定義的泛函在【Lp(Ω,μ)】*中，總之【Lp(Ω,μ)】*保范同構(gòu)于Lq(Ω,μ)。 再如，于δ-有限的正測(cè)度μ,有L1(Ω，μ)上的連續(xù)線性泛函?(x)可表為 (3) 式中z(t)∈L∞(Ω,μ),并且另一方面，由(3)定義的泛函在【L1(Ω)】*中?？傊?【L1(Ω,μ)】*保范同構(gòu)于L∞(Ω,μ)。 由于古典分析發(fā)展的要求，也因?yàn)榘湍煤湛臻g理論本身的需要，于是人們研究X與X*之間的關(guān)系，這便是對(duì)偶理論。這理論的主要工具是哈恩－巴拿赫擴(kuò)張定理：設(shè)M是線性賦范空間X的閉線性子空間，則①對(duì)M上的連續(xù)線性泛函g(x),恒有?(x)∈X*使?(x)=g(x),當(dāng)x∈M,又‖?‖=‖g‖();②對(duì)X中任給的x0≠0，恒有 ?(x)∈X* 使 ?(x0)=‖x0‖,‖?‖=1，③對(duì)任意，恒有?(x)∈X*當(dāng)x∈M使得?(x)=0，?(x0)=1,并且‖?‖=1/d，這里。 設(shè)?(x)∈X*,一般稱點(diǎn)集H={x∈X;?(x)＝常數(shù)C}為X中的閉超平面。設(shè)M是X的子空間,x0∈X,則稱點(diǎn)集x0+M為X中的線性簇。這樣，哈恩－巴拿赫定理便有如下的幾何解釋：若X中的線性簇m與非空的開凸集K不相交，則有閉超平面H使而。 自反空間? 對(duì)巴拿赫空間 X有對(duì)偶空間X*，而X*的對(duì)偶空間則記作X**,任給x0∈X,通過(guò)（當(dāng)x*∈X*）便確定一個(gè)，并且。這表明存在映射τ把X保范地嵌入到X**中。一般X**。如果τ(X)＝X**，則稱X為自反空間。典型的自反空間是Lp【0,1】(1 弱收斂? 無(wú)窮維巴拿赫空間的單位球是不可能按范數(shù)拓?fù)錇榫o的，因此許多有限維空間的命題都不能推廣到一般巴拿赫空間。針對(duì)這一點(diǎn)，人們引進(jìn)弱收斂的概念。對(duì)X 中 與 x0，若于任何 x*∈X *都有，則稱弱收斂于x0，記作。 埃伯萊因－什穆利揚(yáng)定理? 巴拿赫空間X是自反的；必須且只須 X中任何按范數(shù)有界的點(diǎn)列都含有弱收斂的子序列。 利用自反空間的這個(gè)拓?fù)湫再|(zhì)，便能證明如下的結(jié)果：設(shè)J(x)是自反空間X之有界凸閉集C上弱下半連續(xù)的有界泛函，則J(x)在C上達(dá)到最小值。 應(yīng)該指出，正是為著使得一些重要的命題得以成立，人們才引進(jìn)種種類型的巴拿赫空間，自反空間就是一個(gè)鮮明的例子。再如與上述極值問題的惟一性有關(guān)，有所謂球狀空間；與拉東-尼科迪姆定理相關(guān)，則有一致凸空間等等。 人們?cè)?jīng)長(zhǎng)久地停留在序列弱收斂上。其實(shí)即使對(duì)于l2上的弱拓?fù)?，只用序列弱收斂也是不行的。J.馮·諾伊曼首先看到這一點(diǎn)，并且在1930年就使用弱鄰域概念。 X上使得一切x*∈X* 都連續(xù)的最弱的拓?fù)浞Q為X上的弱拓?fù)?。全體，其中,ε>0，n=1，2,…構(gòu)成X 在O點(diǎn)的一個(gè)弱鄰域基。 X*上使得一切,x∈X都連續(xù)的最弱的拓?fù)浞Q為X*上的弱*拓?fù)?。全體 , 其中,ε>0，n=1，2，…構(gòu)成X *在O點(diǎn)的一個(gè)弱*鄰域基。 線性算子? 設(shè)T是從實(shí)（或復(fù)）域F上的向量空間X中線性流形M到F上的線性空間Y的映射，如果 則稱T是線性算子,M為T的定義域，記作D(T)。特別當(dāng)M=X 而Y為數(shù)域F 時(shí)，T 便稱為X上的線性泛函。 設(shè)X、Y都是賦范線性空間,x0∈D(T)，若對(duì)D(T)中任何收斂于x0的序列都有 Txn→Tx0，則稱T 在x0處連續(xù)。設(shè)D(T)=X, 則線性算子T 在X 上每點(diǎn)都連續(xù)必須且只須T是有界的, 即。這時(shí)還稱為T的范數(shù)，記作‖T‖。 設(shè)X與Y都是數(shù)域F上的向量空間,A與B都是從X到Y(jié)的線性算子，對(duì)A與B可定義如下的運(yùn)算:(A+B)x=Ax+Bx，(αA)x=α(Ax),當(dāng)x∈X,α∈F又定義(AB)x=A(Bx),x∈X，當(dāng) A與B都是從X到X的線性算子時(shí)。若線性算子T是單射的，則將它的逆映射記作T-1，而Ix=x則稱為單位算子或恒等算子。 設(shè)H為度量空間，，對(duì) x0 ∈E, 若有小球，則稱x0在E的內(nèi)部。若點(diǎn)集S的閉包埅之內(nèi)部是空的，則稱S在H中無(wú)處稠密。若度量空間H中的點(diǎn)集，而每個(gè)Sn皆在H中無(wú)處稠密，則稱E為H中第一綱的點(diǎn)集。H中非第一綱的點(diǎn)集叫做第二綱的。顯然全體有理數(shù)在實(shí)軸上便是第一綱的?？梢赃@樣想：第一綱的點(diǎn)集是比較稀疏的。 貝爾綱定理? 完備的度量空間必定是第二綱的。這是區(qū)間套定理的發(fā)展和提高，在證明許多存在定理時(shí)是很有用處的。在亨利·勒貝格關(guān)于奇異積分與O.特普利茨關(guān)于正則求和法以及哈恩關(guān)于插值理論等方面的研究之后，斯特凡·巴拿赫與H.斯坦豪斯在1927年給出共鳴定理。 共鳴定理? 又稱一致有界原理。設(shè)X是巴拿赫空間，Y是線性賦范空間,是一族從X到Y(jié)的有界線性算子。如果當(dāng)x∈X，則。這是有著多方面應(yīng)用的重要定理，是綱定理的直接推論。和綱推理密切相關(guān)，還有極著名的開映射定理。 開映射定理? 設(shè)X與Y都是巴拿赫空間，若T是從X到Y(jié)的有界線性算子，且TX=Y,則T變X的開集為Y中的開集。這在有限維空間是平凡的，但在無(wú)限維空間卻是極為深刻有力的工具。它有下列重要推論。 巴拿赫逆算子定理 設(shè)X與Y都是巴拿赫空間，若T是從X到Y(jié)的有界線性算子，且T是一對(duì)一的，又TX=Y，則T-1連續(xù)。 開映射定理還有一個(gè)關(guān)于閉算子的重要推論。設(shè)y=Tx是線性的，若從 恒有x0∈D(T)且,則稱T為閉算子。閉算子在應(yīng)用上是非常重要的概念。表面上，閉性與連續(xù)性很相似，其實(shí)差異不小，因?yàn)檫B續(xù)性是從較少的假設(shè)xn→x0到更多的結(jié)論且。一般稱X×Y中之G(T)={ 閉圖像定理? 設(shè)X與Y都是巴拿赫空間，若T是從X到Y(jié)的線性算子，則T是有界的必須且只須G(T)是閉的。 共軛算子? 設(shè)X與Y都是巴拿赫空間。若線性算子T的定義域D(T)在X中稠密，而T 的值都在Y中，如果對(duì)有x*∈X*使當(dāng)x∈D(T)時(shí)，y*(Tx)=x*(x)則x*由y*惟一確定，記作T┡y*=x*,一般稱T┡為T的共軛算子或?qū)ε妓阕?。特別當(dāng)T是從X到Y(jié)的有界線性算子時(shí)，則T┡也是有界的，且‖T┡‖=‖T‖。顯然，共軛算子是轉(zhuǎn)置矩陣的推廣，所以它自然地在研究方程Tx=y時(shí)起著重要的作用。 設(shè)A為巴拿赫空間X上的線性算子，稱N(A)={x;Ax=0}為A的零空間,R(A)={y;y=Ax,x∈D(A)}為A的值域。從線性方程組的解，已經(jīng)看到A與A┡之值域與零空間的密切關(guān)系，后來(lái)在弗雷德霍姆理論中又再次看到這點(diǎn)。 對(duì)點(diǎn)集，所謂M在X*中的零化子即 而于點(diǎn)集，則G在X中之零化子即 。 設(shè)A為巴拿赫空間上有界線性算子，則 , , , 。 若又設(shè)X 自反，則 。 閉值域定理? 設(shè)X與Y是巴拿赫空間，而T是從X到Y(jié)的閉線性算子，且，則下列命題等價(jià)： ①R(T)在Y 中是閉的， ②R(T┡)在X*中是閉的， ③ ④。 參考書目 S.Banach,Théorie des Opérations Linéaires, Monografje Mathematyczne, Warsaw, 1932. N.Dunford and J.T.SCHWARTZ,Linear Operators, Part 1.General Theory,Interscience, New York, 1958. A.E.Taylor and D.C.Lay,Introduction to functional Analysis, John Wiley & Sons, New York, 1979. 參考資料 >