把A的行換成相應的列，得到的新矩陣稱為A的轉置矩陣，記作AT或A′。轉置矩陣的形式定義為，如果矩陣A是一個m × n矩陣，那么它的轉置是一個n × m矩陣，滿足AijT = Aji。需要注意的是，轉置矩陣AT與逆矩陣A^-1是不同的概念。
性質
1. (A^T)^T = A，轉置是自身的逆運算。
2. (A+B)^T = A^T + B^T，轉置保持矩陣加法。
3. (AB)^T = B^T A^T，注意因子反轉的次序。
4. (cA)^T = cA^T，標量乘以矩陣的轉置等于該標量乘以矩陣的轉置。
5. det(A^T) = det(A)，即轉置矩陣的行列式不變。
7. 如果A是在某個域上，則A 相似于AT。
基本介紹
1. 對稱矩陣其轉置等于自身的方塊矩陣叫做對稱矩陣；就是說A是對稱的，則有A^T = A。
2. 正交矩陣其轉置也是它的逆矩陣的方塊矩陣叫做正交矩陣；就是說G是正交的，則有GG^T = G^T G = I，其中I為單位矩陣。
3. 斜對稱矩陣其轉置等于它的負矩陣的方塊矩陣叫做斜對稱矩陣；就是A是斜對稱的，則有A^T = -A。
4. 復數矩陣A的共軛轉置，寫為A^H，是A的轉置后再取每個元素的共軛復數: A^H = (A?)^T = A?(A^T)。
特殊轉置矩陣
對稱矩陣、正交矩陣和斜對稱矩陣是特殊的轉置矩陣，它們分別滿足A^T = A，GG^T = G^T G = I，以及A^T = -A的性質。此外，復數矩陣的共軛轉置也是一種特殊的轉置矩陣。
線性映射的轉置
如果f: V→W是在向量空間V和W之間非退化雙線性形式的線性映射，我們定義f的轉置為線性映射tf : W→V，確定自B_V(v, tf(w)) = B_W(f(v), w)。這里的B_V和B_W分別是在V和W上的雙線性形式。一個映射的轉置的矩陣是轉置矩陣，只要基是關于它們的雙線性形式是正交的。在復向量空間上，經常用到半雙線性形式來替代雙線性形式。在這種空間之間的映射的轉置可類似的定義，轉置映射的矩陣由共軛轉置矩陣給出，如果基是正交的。在這種情況下，轉置也叫做埃爾米特伴隨。如果V和W沒有雙線性形式，則線性映射f: V→W的轉置只能定義為在對偶空間W*和V*之間的線性映射tf : W*→V*。
參考資料 >