正定矩陣（英語：positive define matrix），一種實對稱矩陣，簡稱為正定陣。若對任意的n維實非零列向量x，都有xTAx大于0，則稱A為正定矩陣，記作A大于0。
代數一詞最早源于公元9世紀時期阿拉伯帝國數學家阿爾·花剌子模（AL.Khwarizmi），經過丟番圖（Diophantus）、韋達（vieta）兩位學者發展，代數更加壯大。正定矩陣的研究最早出現二次型與Hermite型的研究中，而且只限于對實對稱矩陣或Hermite矩陣的使用，隨著數學的發展，學者開始研究未必對稱的較為廣義的正定矩陣。1988年，夏長富對實矩陣的正定縣型作進一步的推廣。
正定矩陣具有一些性質，如兩個正定矩陣的和是正定矩陣、正定矩陣的行列式恒為正等。正實數與正定矩陣的乘積是正定矩陣；實對稱矩陣正定當且僅當與單位矩陣合同。判定某一個矩陣或矩陣的乘積為正定的方法，可用樊-塔爾斯基定理等。正定矩陣可推廣出多個不等式，諸如柯西不等式、Young不等式、Heinz不等式。通過對正定矩陣的數值推算，可以運用于判斷環境污染來源，研究非線性動力大系統的穩定性等領域。
簡史
代數（algebra）一詞最早源于公元9世紀時期阿拉伯數學家阿爾·花剌子模（AL.Khwarizmi），他系統研究一次和二次方程，并首次給出二次方程的求根公式。此后經過丟番圖（Diophantus）、韋達（vieta）兩位學者發展，代數更加壯大。1859年，清朝學者李善蘭將其翻譯為“代數”。代數中，討論線性方程和線性運算的代數稱之為線性代數。正定矩陣的研究最早出現二次型與Hermite型的研究中，而且只限于對實對稱矩陣或Hermite矩陣的使用，隨著數學的發展，學者開始研究未必對稱的較為廣義的正定矩陣。1973年，約翰遜（C.R.Johnson）在其博士論文中研究了方陣的對稱化是正定矩陣時的某些不等式。1988年，夏長富對實矩陣的正定縣型作進一步的推廣。
定義
實對稱矩陣
一種對稱矩陣，指歐式空間的堆成變換在標準正交基下的矩陣，即元素全是實數的對稱矩陣實對稱矩陣的特征值全為實數。在實歐式空間中，對稱矩陣的屬于不同特征值的特征向量必正交，且在中存在個列特征向量組成的標準正交基使為實對角矩陣，其對角線上的元素為的特征值，為正交矩陣。稱為的特征向量的一個完備系。
正定矩陣
若對任意的維實非零列向量都有則稱A為正定矩陣，記作。
充要條件
正定矩陣的充要條件有：
（1）.的所有順序主子式均大于零，適應于具體的二次型矩陣正定的證明。
（2）.的所有特征值適應于抽象的二次型矩陣正定的證明。
（3）.
（4）.與單位矩陣合同存在可逆矩陣使得
（5）.正慣性指數
判定方法
方法（1）：對于由已知的正定矩陣證明給定的矩陣正定的問題，應用定義法最方便快捷。
設均是正定矩陣，則稱為與的乘積，證明也是正定矩陣，證明，顯然矩陣是實對稱矩陣。
任取由于矩陣正定，所以同時有：那么只需要證明
由于是正定矩陣，故存在一個可逆矩陣使得即所以。
對任何因為可逆，所以總存在一個使得（因為不設妨 由的第一列中必有一個元素不為零，設為則）。
又因是正定矩陣，所以總有所以即也是正定矩陣。
方法（2）：運用順序主子式或主子式進行判定，階實對稱矩陣正定的充分必要條件是的所有順序主子式
若是正定矩陣，那么的主子式全大于零。其中主子式就是行指標與列指標相同的子式。
性質
正定矩陣具有以下性質：
1.正定矩陣的行列式恒為正。
3.是正定矩陣當且僅當是正定矩陣。（存疑）設為階正定陣，則A+B均為正定矩陣。
4.兩個正定矩陣的和是正定矩陣。
5.正實數與正定矩陣的乘積是正定矩陣。
對于階實對稱矩陣下列條件是等價的：
相關概念
正定二次型
實二次型的類型，設是一個實二次型，是任意個不全為零的實數。正定、半正定、負定、半負定的二次型合稱為定型二次型；不定的二次型稱為不定型二次型。
其他概念
（1）若對任意的”維實非零列向量都有則稱A為半正定矩陣，記作
（2）若對任意的"維實非零列向量都有則稱A為負定矩陣，記作
（3）若對任意的"維實非零列向量都有則稱A為半負定矩陣，記作
若為(半)正定矩陣，則必為(半)負定矩陣。
相關定理
樊-塔爾斯基定理
樊-塔爾斯基定理是一個判斷矩陣乘法是否正定的，設：
是正定矩陣，是實對稱矩陣，則是正定的充分必要條件為：的特征值全大于零。
推廣
柯西不等式
通過一個正定矩陣，可以設計出一個柯西不等式。
方法：
設是一個階正定矩陣，則對任何向量與定義可以證明由該試定義的一定是維向量間的點積。反之，對于維向量間的任意一種內積，一定存在一個階正定矩陣使得對任何向量和可由該式來定義，因此，給定了一個階正定矩陣，在維向量間就可由該矩陣定義一個內積，從而可得到相應的柯西不等式：
Young不等式
Young不等式是加權算術幾何平均值不等式的特例，在數學分析中有著廣泛的應用，而正定矩陣可應用于該不等式。
方法
任意兩個正實數且，有
當時，有
令時，（1）可以改寫成：
正定矩陣，有如下不等式成立：
當時，從本式子可推得Young不等式的跡形式：
若半正定矩陣且則有：。可得出其行列式：
對且有：且當時，則不滿足其他酉不變范數。
Heinz不等式
正定矩陣可應用于Heinz不等式。
令由不等式（1）和（2），在幾何平均與算數平均中插值可以得到：
廣義正定矩陣
正定矩陣的推廣是采用非奇異實對稱矩陣乘原矩陣，使乘積成為對稱矩陣的技術對實對稱正定矩陣所作的推廣。
定義：設若對都有正對角矩陣使則稱為廣義正定矩陣。
其性質為對稱正定矩陣和實正定矩陣之積為廣義實正定矩陣，即為廣義實正定矩陣的充分必要條件是存在對稱正定矩陣和實正定矩陣使或。
應用
判斷環境污染來源
隨著沿海城市的經濟快速發展，海洋生態受到工業廢水、生活廢水等多種污染，因此海洋環境檢測顯得尤為重要。基于正定矩陣因子模型的海域污染特征解析框架，能夠對海灣的進行水質綜合評價和污染源解析，可以為當地的水環境保護和科學管理提供依據和參考。正定矩陣因子模型通過最小二乘法迭代計算求解，能夠快速完成源解析工作，幫助研究海洋污染物來源，此外還適用于大氣、土壤、河流等領域。
人工智能
神經網絡系統是一種非線性動力大系統，近年來學術界對它多有關注，人們期望通過其產生人工智慧、計算機科學和信息科學的一場革命。因其作為一種非線性動力大系統，研究其穩定性是一個非常重要的方面。而正定矩陣就可運用到這一方面，在設計系統時，為使其處于穩定平衡，可以通過保證平衡方程成立和矩陣的負定位原則，從而選擇合適的系統參數。因此在對矩陣負（正）定的簡單的比較一般性的條件就顯得很有必要，通過對對矩陣的推算，可以得到相應的數據，運用到非線性動力大系統中。
計算機科學
正定矩陣線性方程組求解方程組，可以應用于SVM正則化路徑的求解，一方面通過Cholesky分解提高求解SVM的計算效率，另一方面也降低求解正則化參數的計算機開銷。現有的SVM正則化路徑算法不能處理具有重復的數據、近似數據或線性相關數據，或者計算的開銷過大。針對這些問題，應用正定矩陣方程組求解方法來解SVM正則化路徑，提出正定矩陣svm正則化路徑算法。該算法將迭代方程組的系數矩陣轉換為正定矩陣，并采用Cholesky分解方法求解路徑上各拐點處Larange乘子增量向量，同已有算法中直接求解正則化參數不同，該算法根據活動根據活動機變化情況確定參數增量，并在此基礎上計算正則化參數，保證理論的正確性和數值的穩定性，并降低計算的復雜性。此外，基礎正定矩陣的SVM正則化路徑算法可適用于包含輸入向量線性相關的樣本集，拓展了SVM正則化路徑算法的應用范圍。
參考資料 >