柯西-施瓦茨不等式（英文：Cauchy-Schwartz inequality）也稱柯西不等式，即如果為任意實數，則有，當且僅當(為常數)時等號成立。
柯西-施瓦茨不等式最早是在1821年由法國數學家奧古斯丁-路易·柯西（法語：Augustin-Louis Cauchy）提出。俄國數學家布尼亞科夫斯基（俄語：Виктор Яковлевич Буняковский）和德國數學家赫爾曼·施瓦茨（德語：Hermann Schwarz）分別在1859年和1884年獨立地提出柯西-施瓦茨不等式的積分形式?？挛?施瓦茨不等式也得到了更多的推廣和不同學科領域的發展。
柯西-施瓦茨不等式有許多形式，積分形式的不等式也叫柯西-布尼亞科夫斯基-施瓦茨不等式。還有向量、點積、概率形式的柯西-施瓦茨不等式。一般形式的柯西-施瓦茨不等式可以推廣成赫爾德不等式（英文：）、閔可夫斯基不等式（英文：Minkowski's inequality）、卡勒博不等式（英文：Callebaut's Inequality）等。
柯西-施瓦茨不等式在數學領域有廣泛的應用，可以利用它來證明恒等式、解方程、證明不等式、求極值等，概率論中可以推出相關系數的性質。柯西-施瓦茨不等式也可以應用到數據分析領域，無論是在最佳樣本量的估計或是在時間序列的分析上都有應用。
定義
設為任意實數，則有，當且僅當(為常數)時等號成立。
上述不等式被稱為柯西-施瓦茨不等式（英文：Cauchy-Schwartz inequality）。
歷史
1821年法國數學家奧古斯丁-路易·柯西（法語：Augustin-Louis Cauchy）在他的著作《分析課程第一部分：代數分析》（法語：Cours d'Analyse,1er Partie: Analyse Algébrique）中的《關于在">"或"<"上使用"和"號所產生的公式，以及幾個量之間的平均數》（法語：Sur les formules qui résultent de l'emploie du signe et sur > ou <,et sur les moyennes entre plusieurs quantités）中首次寫下并證明了一般形式的柯西不等式。
俄羅斯數學家布尼亞科夫斯基（俄語：Виктор Яковлевич Буняковский）在1859 年首次發表了柯西不等式的積分形式。德國數學家赫爾曼·施瓦茨（德語：Hermann Schwarz）于1888年給出積分形式的證明，他沒有提到布尼亞科夫斯基的著作。
由于兩位數學家在柯西不等式的推廣上做出了卓越貢獻，柯西不等式的積分形式也叫作柯西-布尼亞科夫斯基-施瓦茨不等式或柯西-施瓦茨不等式。雖然布尼亞科夫斯基在積分形式的柯西不等式的陳述和證明上早于施瓦茨，但施瓦茨對柯西不等式的點積形式、積分形式的證明等上取得了更多更大的成果，因此人們也把一般形式的柯西不等式稱為奧古斯丁-路易·柯西施瓦茨不等式，布尼亞科夫斯基的名字就較少提及了。
證明
求差-配方法
，
從而，其中等號當且僅當時成立。
因為，所以移項可得。
比值法
當或時顯然成立。當且時，則
所以。
其中等號成立的充分必要條件是且。
前式成立的充分必要條件是即與同號。后式成立的充分必要條件是
注意到與均為常數，故上式即為：。
又因與同號，故。
判別式法
若不等式顯然成立。
若中至少有一個不為0，則
又二次三項式，所以它的判別式
即。等號成立當且僅當時成立。
因為，所以。
基本不等式
利用基本不等式證明。如果或，由于全為實數，由此得出或，這時柯西-施瓦茨不等式等號成立。所以只需要討論并且情況即可。
在這種情況下，取正數，使，對每個，式中等號當且僅當時成立。對求和，有
由于的取法，將使上式的右邊變為，即有
等號成立條件由上知。
數學歸納法
證法1
我們可以證明更強的不等式：。
當時，上式顯然成立。當，上式即為。
假設時成立。那么當時
所以由數學歸納法，不等式對一切自然數成立。從而柯西-施瓦茨不等式成立。
證法2
當時，直接驗證可得柯西-施瓦茨不等式成立。
假設當時，不等式成立，即，當且僅當時等號成立。
那么，當時，
當且僅當，即時成立。于是時，不等式成立。
從而對所有自然數，不等式都成立。由數學歸納法知，柯西-施瓦茨不等式成立。
利用拉格朗日恒等式
對和，有如下的拉格朗日恒等式
移項即得柯西-施瓦茨不等式。
內積法
對于兩個向量，，內積定義為：。
對任意實數和向量，有
于是判別式大于0，即
由的任意性，得
移項可得柯西-施瓦茨不等式成立。
向量法
令，，則對向量，我們有如下的余弦定理:
從而。
由，且等號成立當且僅當，即與平行，故柯西-施瓦茨不等式成立。
其他形式
向量形式
對于任意向量，有。當且僅當線性相關時，等號成立，即兩個矢量的點積小于等于兩個矢量的長度之積。
證明
當向量線性相關時，與實內積空間的情形一樣，可得
如果向量線性無關，則對于任意復數（因為向量形式多出現在向量空間中，所以需要考慮復數形式），有，從而
特別地，取，代入上式得
由此得出，。
余弦定理亦可證明，與一般形式的柯西-施瓦茨不等式的向量法證明類似。
從而，從而。
內積形式
設是內積空間，則對有。
證明
任取實數域上，則對任意，
設，取并代入上面等式右邊，得
化簡后即得，對于不等式顯然成立。
概率形式
對任意隨機變量與都有。等式成立當且僅當。這里是某一個常數。
證明
對任意實數，定義，顯然對一切，因此二次方程或者沒有實根或者有一個重根。所以判別式。移項即得不等式形式。此外，方程有一個重根存在的充要條件是。這時，因此。從而，移項即得。
積分形式
若在上可積，則。若在上連續，其中等號當且僅當存在常數，使得成立（不同時為零）。
證明1
將等分，令，應用一般形式柯西-施瓦茨不等式，
令取極限，即證。
證明2
移項即得柯西-施瓦茨不等式。
復變函數中的柯西不等式
設函數在區域內解析，為內一點，以為心作圓周，只要及其內部均含于，則有，其中。
證明
這里先不加證明地寫出柯西積分公式及解析函數階導公式。
柯西積分公式：設區域的邊界是周線（或復周線），函數在內解析，在上連續，則有
在柯西積分公式的條件下，函數在區域內有各階導數，并且有
根據上述兩個公式，則有
柯西不等式得證。
可見復變函數中的柯西不等式并不是一般形式的柯西不等式在復數域下的形式。兩者形式完全不同。
推廣
赫爾德不等式
赫爾德不等式（英文：）：設是正實數，是正實數，且，則。等號成立條件是成比例。
一般如下形式使用較多：設是兩組正實數，是正實數且，那么有
。取等號的充分必要條件是。
赫爾德不等式也可推廣到積分形式。
若，且，則有
。
一般如下形式使用較多：設，，則
等號成立當且僅當連續時，與成比例。
閔可夫斯基不等式
閔可夫斯基不等式（英文：Minkowski's inequality）：設都是正實數，，則
。等號成立條件是成比例。
卡勒博不等式
卡勒博不等式（英文：Callebaut's Inequality）：對于實數列及，有
等號成立條件為。
應用
初等數學
證明恒等式
例：已知，求證。
證明：由柯西-施瓦茨不等式得，當且僅當時取等號。此時，，即得證。
解方程
例：解方程
解：由柯西-施瓦茨不等式得
即。等號成立當且僅當，即時成立。
解方程組
例：解方程組
解：原方程組可化為
運用柯西-施瓦茨不等式得兩式相乘，得
當且僅當時取等號。故原方程組的解為。
證明一般不等式
例：，求證
證明：根據柯西不等式，得
即
等號成立的充要條件是。
證明條件不等式
例：已知：，求證：
證明：
因可知，又，從而可得
所以。
求函數極值
例：求函數的最大值，并問當為何值時，函數有最大值。
解：因為
所以，當時等號成立。
解得，函數有最大值。
解幾何問題
例：如圖，過內一點引三邊的平行線，點都在的邊上。表示六邊形的面積，表示的面積。求證：
證明：設，則由于分別與平行，則
，
同理。所以
由柯西-施瓦茨不等式，得
即
從而，
所以。
解組合計數問題
例：已知1650個學生排成22行、75列，其中任意兩列處于同一行的兩個人中，性別相同的學生都不超過11對。證明：男生的個數不超過928。
解：設第行的男生數為人，則女生數為人，依題意，可知
英文任意給定的兩列處于同一行的兩個人中，性別相同的學生不超過11對，所以，所有性別相同的兩人對的個數不大于，所以有，即。由柯西-施瓦茨不等式，得
所以，即，則男生的個數不超過928。
泛函分析
可用于計算一個距離是否滿足距離空間的定義。
例：設是元實數組全體，定義，其中，。證明是一個距離空間。
證明：需要驗證滿足距離的三條公理。顯然大于0且滿足對稱性。下面證明三角形不等式成立。由柯西-施瓦茨不等式得
設是任意三點，在上面不等式中令，則
即。所以是一個距離空間。
概率論
概率形式柯西-施瓦茨不等式可以直接得出相關系數的性質。
相關系數：
由，可得。
生產生活
數據分析
柯西-施瓦茨不等式在數據分析上也有應用。比如如果樣本表達式合理，可以使用柯西-施瓦茨不等式估算最佳樣本量。在概化理論最佳樣本量估算中將樣本方差參數和側面水平數量相結合，組成柯西-施瓦茨不等式的形式，就可以得到帶有樣本量估算值的不等式，取等號時的解即為最佳樣本量。也可以將柯西-施瓦茨不等式應用到時間序列的動力方程中，在測度鏈上對柯西-施瓦茨不等式進行推廣。
信號仿真
可以利用柯西-施瓦茲不等式計算阻尼。這是利用點積的相關診斷特性,首先構造一個函數,將該函數與響應信號作內積運算,求內積模的最大值;然后利用柯西-施瓦茲不等式定理診斷阻尼比。
參考資料 >
Bunyakovskii inequality.Encylopedia of mathematics.2023-09-01
The Cauchy-Schwarz Master Class: An Introduction to the Art of Mathematical Inequalities.stat.wharton.2023-08-31
H?lder inequality.Encyclopedia of Mathematics.2023-09-04