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算術幾何（arithmetic geometry）是代數幾何的一個分支，主要研究代數簇的有理點，即多項式方程組在代數數域、有限域、P進數或函數域上的解集。它涉及從代數幾何到數論問題的技術應用，并且在處理整數環的譜內的有限概形方案方面有其獨特的定義和方法。
基本介紹
算術幾何最初是指從法爾廷斯（Faltings, G.）、奎林（Quillen, D.G.）等人關于算術曲面上黎曼-羅赫定理的研究工作開始的一系列研究。現在，它通常指的是所有以數論為背景或目的的代數幾何研究。算術幾何中的經典對象是有理點，這些點可以通過高度函數來衡量其算術復雜性。隨著代數幾何的現代抽象發展，非代數閉域上定義的代數簇的結構已成為研究的中心。在有限域上，平展上同調（étale cohomology）提供了與代數簇相關的拓撲不變量，而霍奇理論則提供了工具來檢查復數上的上同調性質何時擴展到P進數上的上同調性質。
在算術幾何中，許多學科起著重要作用，并且相互交叉和滲透，包括數論、模形式、表示論、代數幾何、代數數論、李群、多復變函數論、伯恩哈德·黎曼面、K理論等。因此，算術幾何是一個典型的邊緣學科。丟番圖方程是算術幾何的一個重要課題，其中的問題可以自然地用幾何語言表達。在許多著名問題，如莫德爾猜想、費馬大定理等的研究中，都表明了幾何方法的必要性。這正是算術幾何的生命力所在。
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