代數(shù)數(shù)域是數(shù)學(xué)中代數(shù)數(shù)論的基本概念，數(shù)域的一類(lèi)，有時(shí)也被簡(jiǎn)稱(chēng)為數(shù)域，指有理數(shù)域 ? 的有限擴(kuò)張形成的擴(kuò)域。任何代數(shù)數(shù)域都可以視作 ? 上的有限維向量空間。對(duì)代數(shù)數(shù)域的研究，或者更一般地說(shuō)，對(duì)有理數(shù)域的代數(shù)擴(kuò)張的研究，是代數(shù)數(shù)論的中心主題。
簡(jiǎn)介
命為一個(gè) n次代數(shù)數(shù)，即一個(gè)有理系數(shù) n次不可約方程 的根。
易證所有形如的數(shù)，此處 為有理數(shù)，所構(gòu)成的集合，對(duì)和、差、積、商（除數(shù)非零）是自封的，所以構(gòu)成一個(gè)域，這就是有理數(shù)域添加所得的單擴(kuò)張(simple extension)，常以記之。可以證明對(duì)于的任何有限擴(kuò)張(finite extension) ，其中 都是代數(shù)數(shù)，均可找到一個(gè)代數(shù)數(shù) 使。因此，只要考慮 的單擴(kuò)張即可，稱(chēng) 為一個(gè)代數(shù)數(shù)域。
所滿(mǎn)足的不可約方程的次數(shù)即定義為 的次數(shù)。
舉例
最小最基本的代數(shù)數(shù)域是有理數(shù)域? 。因?yàn)? 自身是?-向量空間，維數(shù)是1。因此? 是? 自身的域擴(kuò)張，。高斯有理數(shù)?(i)（i為虛數(shù)單位）是數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)的第一個(gè)非平凡代數(shù)數(shù)域的例子，它是所有形同：的數(shù)構(gòu)成的集合。
可以證明，?(i)是域，而且是?-向量空間，以為基，空間維數(shù)是2。所以?(i)是?的二次擴(kuò)張，。
給定不是完全平方數(shù)的正整數(shù)或相反數(shù)不是完全平方數(shù)的負(fù)整數(shù) d ，二次域在?中添加d的平方根而得的擴(kuò)域。與高斯有理數(shù)域類(lèi)似，可以證明是?-向量空間，以為基，空間維數(shù)是2，即。
考慮多項(xiàng)式方程 的 n 個(gè)復(fù)根，它們被稱(chēng)做 n 次單位根，具體可以寫(xiě)作：。
在?中添加得到的擴(kuò)域稱(chēng)為 n 次分圓域，記作。可以證明是有限維?-向量空間，維數(shù)為（φ是數(shù)論中的歐拉函數(shù)），即。
實(shí)數(shù)域 ? 、復(fù)數(shù)域?和 p 進(jìn)數(shù)域?都不是的有限擴(kuò)張，因此都不是代數(shù)數(shù)域。任何有限域都不是?的擴(kuò)域，因此也不是代數(shù)數(shù)域。全體規(guī)矩?cái)?shù)構(gòu)成的域 和全體代數(shù)數(shù)構(gòu)成的域（有時(shí)也被簡(jiǎn)稱(chēng)為代數(shù)數(shù)域，與本文主題同名，但不是同一個(gè)概念）不是?的有限擴(kuò)張，因此都不是代數(shù)數(shù)域。
代數(shù)整數(shù)
代數(shù)整數(shù)是指能夠成為某個(gè)首一整數(shù)系數(shù)多項(xiàng)式的根的數(shù)。顯然代數(shù)整數(shù)是一種代數(shù)數(shù)。任何整數(shù)n都是一次整系數(shù)多項(xiàng)式的根，因此是代數(shù)整數(shù)。給定代數(shù)數(shù)域F，F(xiàn)中所有代數(shù)整數(shù)構(gòu)成一個(gè)環(huán)，稱(chēng)作F中的（代數(shù)）整數(shù)環(huán)，也稱(chēng)為F-整數(shù)環(huán)，記作。例如?上的代數(shù)整數(shù)環(huán)就是 ? ，因此在代數(shù)數(shù)域研究中?也被稱(chēng)作“有理整數(shù)”（有理數(shù)域中的整數(shù)），以區(qū)別于其余的代數(shù)整數(shù)。
代數(shù)數(shù)域F中的整數(shù)環(huán)與 ? 有不同的代數(shù)性質(zhì)。不一定是唯一分解整環(huán)。舉例來(lái)說(shuō)，設(shè)，F(xiàn)中的整數(shù)環(huán)是。都是中的“素?cái)?shù)”。正整數(shù)6，作為中的元素，它的素因數(shù)分解有兩種方式：
有理整數(shù)的唯一分解性質(zhì)在不少代數(shù)數(shù)域的整數(shù)環(huán)中失效。這個(gè)事實(shí)說(shuō)明了拉梅對(duì)費(fèi)馬大定理的證明是錯(cuò)誤的。為此庫(kù)默爾等引進(jìn)了理想數(shù)來(lái)作為彌補(bǔ)，由此發(fā)展出理想理論。代數(shù)數(shù)論中一個(gè)重要的事實(shí)是：的每個(gè)理想都可以唯一表示為素理想的乘積，即為戴德金整環(huán)。這種“理想的唯一素分解”可部分彌補(bǔ)“代數(shù)整數(shù)一般不能唯一素因子分解”的不足，在歷史上使代數(shù)數(shù)論發(fā)展起來(lái)。
參考資料 >