番圖方程又名不定方程、整係數(shù)多項式方程，是變數(shù)僅容許是整數(shù)的多項式等式；即形式如 ax+by=c，其中所有的aj、bj和c均是整數(shù)，若其中能找到一組整數(shù)解x1,x2...,xn和y1,y2,....,yn者則稱之有整數(shù)解。
名詞定義
丟番圖方程又名不定方程、整系數(shù)多項式方程，是變量僅容許是整數(shù)的多項式等式；即形式如右上角圖的方程，其中所有的和c均是整數(shù)，若其中能找到一組整數(shù)解者則稱之有整數(shù)解。
丟番圖問題有數(shù)條等式，其數(shù)目比未知數(shù)的數(shù)目少；丟番圖問題要求找出對所有等式都成立的整數(shù)組合。對丟番圖問題的數(shù)學(xué)研究稱為丟番圖分析。
3世紀希臘數(shù)學(xué)家亞歷山大城的丟番圖曾對這些方程進行研究。
丟番圖方程的例子有貝祖等式、勾股定理的整數(shù)解、四平方和定理和費馬大定理等
歷史概述
丟番圖方程是數(shù)論中最古老的分支之一。古希臘的丟番圖早在公元3世紀就開始研究不定方程，因此常稱不定方程為丟番圖方程。Diophantus，古代希臘人，被譽為代數(shù)的鼻祖，流傳下來關(guān)于他的生平事跡并不多。今天我們稱整系數(shù)的不定方程為「Diophantus方程」，內(nèi)容主要是探討其整數(shù)解或有理數(shù)解。他有三本著作，其中最有名的是《算術(shù)》，當(dāng)中包含了189個問題及其答案，而許多都是不定方程組 (變量的個數(shù)大于方程的個數(shù))或不定方程式 (兩個變數(shù)以上)。丟番圖只考慮正有理數(shù)解，而不定方程通常有無窮多解的。
研究不定方程要解決三個問題：①判斷何時有解。②有解時決定解的個數(shù)。③求出所有的解。中國是研究不定方程最早的國家，公元初的五家共井問題就是一個不定方程組問題，公元5世紀的《 張丘建算經(jīng)》中的百雞問題標志中國對不定方程理論有了系統(tǒng)研究。秦九韶的大衍求一術(shù)將不定方程與同余理論聯(lián)系起來。百雞問題說：“雞翁一，直錢五，雞母一，直錢三，雞雛三，直錢一。百錢買百雞，問雞翁、母、雛各幾何？”。設(shè)x，y，z分別表雞翁、母、雛的個數(shù)，則此問題即為不定方程組的非負整數(shù)解x，y，z，這是一個三元不定方程組問題。
丟番圖生平
代數(shù)之父─丟番圖（Diophantine）是一位古希臘的大數(shù)學(xué)家，為第一位懂得使用符號代表數(shù)來研究問題的人。其中丟番圖最著名的可能就是他的墓志銘了：
「墳中安葬著丟番圖，多么令人驚訝，它忠實地記錄了所經(jīng)歷的道路。
雅威給予的童年占六分之一，又過十二分之一，兩頰長胡，再過七分之一，點燃起結(jié)婚的蠟燭。
五年之后天賜貴子，可憐遲到的高寧馨，享年僅及其父之半，便進入冰冷的墓。
悲傷只有用數(shù)論的研究去彌補，又過四年，他也走完了人生的旅途。」
我們可以從中知道：“丟番圖的一生，幼年占，青少年占，又過了才結(jié)婚，5年后生子，子先父4年而卒，壽為其父之半?！庇嬎銇G番圖的方程為，由此知道丟番圖享年84歲。
一次不定方程
一次不定方程是形式如的方程，一次不定方程有整數(shù)解的充要條件為：須是c的因子，其中表示的最大公因子。
若有二元一次不定方程，且，則其必有一組整數(shù)解，并且還有以下關(guān)系式：
t為任意整數(shù)，故此一次不定方程有無限多解。請參見貝祖等式。
丟番圖分析
經(jīng)典問題
* 有解答嗎？
* 除了一些顯然易見的解答外，還有哪些解答？
* 解答的數(shù)目是有限還是無限？
* 理論上，所有解答是否都能找到？
* 實際上能否計算出所有解答？
希爾伯特第十問題
1900年，戴維·希爾伯特提出丟番圖問題的可解答性為他的23個問題中的第10題。1970年，一個數(shù)理邏輯的結(jié)果馬蒂雅謝維奇定理（Matiyasevich's theorem）說明：一般來說，丟番圖問題都是不可解的。更精確的說法是，不可能存在一個算法能夠判定任何丟番圖方程式否有解，甚至，在任何相容于皮亞諾算數(shù)的系統(tǒng)當(dāng)中，都能具體構(gòu)造出一個丟番圖方程，使得沒有任何辦法可以判斷它是否有解。
現(xiàn)代研究
* 丟番圖集是遞歸可枚舉集。
* 常用的方法有無窮遞降法和哈賽原理。
* 丟番圖逼近研究了變量為整數(shù)，但系數(shù)可為無理數(shù)的不等式。
分式解法
丟番圖是一個人，他的生命是一個整體1
他的生命一共經(jīng)歷了以下一些關(guān)鍵點：
、5年、、4年，然后他死了
是怎么得來的呢？因為他的孩子出生后，到他的孩子死了的這段時間，占丟番圖生命的一半，所以這段時間記為，
現(xiàn)在來看看，他的生命一共由和9年組成，那么問題很簡單了，就是你要知道這9年占據(jù)他一生的幾分之幾呢？
當(dāng)然是
因為從一開始就說了，丟番圖的生命是一個整體1
所以他的年齡有多大呢？反過來，就是
9除以
對括號里面的分式進行統(tǒng)分，很簡單就解出來了
明白了嗎？ 9除以除以（），當(dāng)然是84歲了。
參考資料 >