二次型（quadratic form），也稱為“二次形式”，數域P上的n元二次齊次多項式稱為數域P上的n元二次型。
二次型的系統研究是從18世紀開始的，它起源于對圓錐曲線和二次曲面的分類問題的討論，將二次曲線和二次曲面的方程變形，選有主軸方向的軸作為坐標軸以簡化方程的形狀。法國數學家柯西（Augustin-Louis Cauchy）在其著作中給出結論：當方程是標準形時，二次曲面用二次項的符號來進行分類，然而，那時并不太清楚，在化簡成標準形時，為何總是得到同樣數目的正項和負項，英國數學家西爾維斯特（James Joseph Sylvester）回答了這個問題，他給出了n個變數的二次型的慣性定律，但沒有證明，這個定律后被德國數學家卡爾·雅可比（Carl Gustav Jacob Jacobi）重新發現和證明。1801年，德國約翰·卡爾·弗里德里希·高斯（Gauss）在《算術研究》中引進了二次型的正定、負定、半正定和半負定等術語。二次型化簡的進一步研究涉及二次型和行列式的特征方程等概念。
二次型與矩陣的概念密切相關，二次型矩陣是對稱矩陣。從幾何意義上說，它的圖形為圓錐曲線或二次曲面。二次型具有標準型以及規范型的特殊形式，可通過一些方法將普通二次型化為這兩種形式，如配方法、正交變換法以及初等變換法。二次型在現實世界中應用廣泛，如在經濟學中，二次型可以用于解決最大經濟效用問題；在物理學中，二次型可應用于處理滿足二重構型的量子薩特延德拉·玻色模型的哈密頓量精確對角化問題。
定義
,
稱為數域上元二次型，簡稱二次型。
歷史
起源
二次型的系統研究是從18世紀開始的，它起源于對圓錐曲線和二次曲面的分類問題的討論，將二次曲線和二次曲面的方程變形，選有主軸方向的軸作為坐標軸以簡化方程的形狀。柯西（Augustin-Louis Cauchy）在其著作中給出結論：當方程是標準形時，二次曲面用二次項的符號來進行分類。然而，那時并不太清楚，在化簡成標準形時，為何總是得到同樣數目的正項和負項，西爾維斯特（James Joseph Sylvester）回答了這個問題，他給出了個變數的二次型的牛頓第一運動定律，但沒有證明，這個定律后被卡爾·雅可比（Carl Gustav Jacob Jacobi）重新發現和證明。1801年，高斯出版了《算術研究》，從而開創了現代數論研究的新紀元，書中出現了二次型理論的首次證明。二次型化簡的進一步研究涉及二次型或行列式的特征方程的概念，特征方程的概念隱含地出現在歐拉（Leonhard Euler）的著作中，約瑟夫·拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange）在其關于線性導數方程組的著作中首先明確地給出了這個概念，而三個變數的二次型的特征值的實性則是由阿歇特（Hachette,Jean一Nicolas Pierre）、加斯帕爾·蒙日（Gaspard Monge）和泊松（Simeon-Denis 西莫恩·泊松）建立的。
改進
奧古斯丁-路易·柯西（Augustin-Louis Cauchy）在別人著作的基礎上，著手研究化簡變數的二次型問題，并證明了特征方程在直角坐標系的任何變換下不變性。后來，他又證明了個變數的兩個二次型能用同一個線性變換同時化成平方和。后在1851年，西爾維斯特（James Joseph Sylvester）在研究圓錐曲線和二次曲面的切觸和相交時需要考慮這種二次曲線和二次曲面束的分類。在他的分類方法中他引進了初等因子和不變因子的概念，但他沒有證明“不變因子組成兩個二次型的不變量的完全集”這一結論。1858年，卡爾·特奧多爾·威廉·魏爾施特拉斯（Karl Weierstra?）對同時化兩個二次型成平方和給出了一個一般的方法，并證明，如果二次型之一是正定縣的，那么即使某些特征根相等，這個化簡也是可能的。卡爾·特奧多爾·威廉·魏爾施特拉斯比較系統地完成了二次型的理論并將其推廣到雙線性型。
相關概念
矩陣
由個數排成行、列的一張表稱為一個矩陣，其中的每一個數稱為這個矩陣的一個元素，第行與第列交叉位置的元素稱為元。矩陣通常用大寫英文字母簡單地表示。一個矩陣可以簡單地記作，它的元記作。如果矩陣的元是，可以把矩陣記作。
矩陣合同
設,為兩個階方陣，如果存在階可逆矩陣，使得，則稱矩陣 合同于矩陣，或稱與合同，記為。
矩陣的合同關系是一種等價關系，它具有如下基本性質：
（1）自反性：對任意方陣，有。
（2）對稱性：若，則。
（3）傳遞性：若，，則。
二次型的矩陣：系數在數域中的個變量的一個二次齊次多項式，稱為數域上的一個元二次型，它的一般形式是：
(1)，
上式還可以寫成
(2)，
其中。
把(2)式中的系數排成一個級矩陣（注意）：
把 稱為二次型的矩陣，它是對稱矩陣。
關于二次型與矩陣的合同，可以得出這樣的結論： 數域上任一對稱矩陣都合同于一個對角矩陣，即二次型矩陣合同于對角矩陣。
幾何意義
實數域上
二次型的幾何圖形是圓錐曲線或二次曲面，例如二元函數的圖形在三維空間中觀看（即），其典型的圖形是橢圓拋物面或雙曲拋物面（雙曲拋物面俗稱馬鞍面），如下圖所示。
多元的二次型圖形是超二次曲線或曲面，這也是二次型的幾何意義，不過這是解析意義而不是向量意義，它們是向量末端集合的圖形。
復數域上
二次型的幾何意義是向量的長度的平方，即向量在不同坐標系下長度的平方。
形式
標準形
只含平方項的二次型，如，稱為二次型的標準形。二次型的標準形的矩陣。
規范形
形如的二次型稱為二次型的規范形。二次型的規范形的矩陣，從而二次型的規范形的秩。正平方項的個數稱為二次型的正慣性指數，相應的負平方項的個數稱為負慣性指數。
相關定理
（1）任何一個實對稱矩陣都合同于對角矩陣，即存在可逆矩陣，使得 ，從而任何一個二次型都可用可逆的線性變換化為標準形。
（2）任給二次型，其中是實對稱矩陣，一定有正交變換，使 ，其中，是的個特征值，而的列向量就是對應于的兩兩正交的單位特征向量。
（3）慣性定理：實二次型經過可逆的線性變換化為標準形時，所含正平方項的項數和負平方項的項數是唯一確定的，它們的和等于矩陣的秩。
（4）任何實二次型總可以經過適當的可逆的線性變換化為規范形，且規范形是唯一的，從而任何實對稱矩陣必合同于如下形式的對角矩陣： 。
相關計算
化二次型為標準形
化二次型為標準形的方法方法很多，但主要的方法就有三種：正交變換法、配方法、初等變換法，這三種方法各有特點，每一個二次型化標準形，三種方法都可以應用，但是由于其系數的不同，所以不同的二次型化標準形就要選取較為簡單合適的方法。
正交變換法
對于一個實對稱矩陣，可以利用求得的正交矩陣，構造變換將二次型化成標準形，這種方法稱為正交變換法，該方法僅對實二次型成立。
利用正交變換法化二次型為標準形的具體步驟為：
（1）將二次型表示成矩陣表達形式，求出矩陣；
（2）求出的所有特征值；
（3）求出對應于特征值的線性無關的特征向量；
（4）將特征向量正交化，單位化， 得，記；
（5）作正交變換，則得二次型的標準形。
例：設二次型為，求一個正交變換，將該二次型化為標準形。
解：二次型的矩陣為 ，
其特征多項式為
，
所以的特征值。
當時，解方程，得基礎解系；
當時，解方程，可得正交的基礎解系
， ， ，
單位化得 ， ， ， 。
于是所求正交變換為 ，
在此變換下原二次型化為標準形。
配方法
含有平方項的二次型利用配方法化標準形的一般步驟是：若二次型中含有平方項，則把含有所有項集中，然后配方，再對其余的變量進行同樣的過程直到所有的變量都配成平方為止，經過非退化線性替換就得到標準形。
例：用配方法化二次型為標準形。
解：由于中含變量的平方項，所以先將含有的項歸并起來，配方可得
，
再將含有的各項歸并在一起，繼續配方得
，
令，解得
所用可逆線性變換
把原二次型化為標準形。
對于不含平方項的二次型，首先必須構造出平方項，而這個過程不是簡單的加減，而是先做非退化線性替換化二次型為含平方項的二次型，然后按含平方項的方法配方。
初等變換法
初等變換法的關鍵詞是初等變換，非退化線性變換為，則就要有，是可逆矩陣，一定等于有限個初等陣的乘積，所以每進行一次列的初等變換就要進行同樣的行的初等變換，直到把變換成對角陣。而此時對同階單位矩陣作與同樣的列變換而不作行變換，，這樣就直接得到標準形的系數矩陣以及非退化線性變換的系數矩陣。
例：用矩陣的初等變換法把下述二次型化成標準形：。
解：的矩陣是，對其進行初等變換過程如下：
，
因此 ， 。
令，得。
化二次型為規范形
配方法
任一元實二次型都可以通過非退化線性替換化為，此標準形稱為實二次型的規范形，且，規范形是唯一的，即唯一。
例：化為規范形。
解：由于中不含平方項，含有乘積項，所以令，
代入可得，再配方，得，
令，解得，
所以化為規范形：。
二次型的求導
設，是以向量為自變量的數量函數，即為元函數，則規定數量函數對于向量的偏導數為：，
顯然，若還有向量的數量函數，則下列導數法成立：
，
。
作為特例：
（2）時，函數對的導數為。
例：設為常量矩陣，。證明數量函數對于向量的偏導數為。
證明：因為，由得
。
正定二次型
定義
設實二次型，如果對于任何，都有，則稱該二次型為正定二次型，矩陣稱為正（負）定矩陣。
充要條件
（1）的正慣性指數等于；
（2）的所有特征值都為正數；
（4）的各階順序主子式均大于。
性質
（1）若為正定矩陣，則，，，(為大于的常數)，（為整數）亦為正定矩陣。
（2）若均為正定矩陣，則為正定矩陣。
推廣
H二次型
設，若，則稱為陣，簡稱為陣，記為。若為陣，則稱共軛對稱的二次齊式為二次型。
性質
（1）陣必酉相似于一實對角陣。
（2）陣的特征值全為實數。
（3）陣相異特征值對應的特征向量必正交。
（4）方陣酉相似于對角陣充分條件為是正規陣。
（5）任一二次型，其中，必存在可逆陣，使經，化為標準形：，其中系數全為實數。
（6）設為階陣，則下列命題等價：是正定陣；與共軛合同的是正定陣；的正慣性指數為；的特征值全大于零；,其中為正定陣；,其中為可逆陣，即共軛合同于單位陣。
（7）對秩為的矩陣，必存在階與階的酉陣與使，其中，而為的非零特征值。
應用
數學
利用轉軸公式可把二次有心曲線方程化為只含有平方項的標準形式，從平方項的標準形式，我們很容易判斷曲線的類型，進而可以研究曲線的性質。
經濟學
在經濟學中，二次型可以用于解決最大經濟效用問題，通過適當的數學方法和技巧，能夠幫助決策者更好地分配資源。在一些特定集合內尋找變量的值，使得二次型取得最大值或最小值，這樣，資金使用的優化問題就可以化為以單位向量為變量的優化問題。
物理學
如果用系數矩陣來表示一個普通二次型，不難發現該系數矩陣一定是一個對稱矩陣，而且任何一個二次型表達 式只有唯一一個對稱矩陣與之對應用該對稱的系數矩陣進行正交變換，就可以得到矩陣的特征值和特征向量，再利用標準二次型的運算步驟就可以將其化為標準二次型。以往的研究表明，諸多量子模型都可以表示為 一般形式的二階多元哈密頓量，且其相應的系數矩陣也具有對稱性。因此，二次型的標準化過程可以為量子模型的對角化過程提供一定的借鑒意義。
參考資料 >
二次型和矩陣合同原來是這么一回事.輕識.2024-03-01
二次型.術語在線.2024-02-20